Решение. Задание 19, Вариант 5
Условие задачи
На доске написано число N = 2345623456.
а) Можно ли, приписав к числу N справа две цифры, получить в результате число, кратное 72?
б) Можно ли, приписав к числу N справа три цифры, получить в результате число, кратное 792?
в) Сколькими способами можно вычеркнуть из числа N две цифры так, чтобы полученное число делилось на 12?
Решение
а) Число делится на 72 в том и в только том случае, когда оно делится на 9 и на 8 одновременно. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда на 9 делится сумма его цифр, а на 8 тогда и только тогда, когда на 8 делится число, составленное из трех его последних цифр.
Сумма цифр числа N равна 40.
Припишем к N цифры 3 и 2. Тогда сумма цифр полученного числа равна 45, а число, составленное из трех его последних цифр, – это 632. Таким образом, условия делимости на 72 выполнены.
б) Число делится на 729 тогда и только тогда, когда оно делится на 8, на 9 и на 11.
Вспомним признак делимости на 11: суммы цифр на четных и нечетных позициях числа равны или их разность кратна 11.
Легко проверить, что в числе N суммы цифр на четных и на нечетных позициях равны:
2 + 4 + 6 + 3 + 5 = 3 + 5 + 2 + 4 + 6
Значит, само число N делится на 11. Припишем к нему три цифры a, b и с.
Необходимо выполнение условий:
число, составленное из цифр а, b и с, должно делиться на 8,
сумма а + b + c равна 5, 14 или 23 – словом, при делении на 9 должна давать остаток 5,
b = а + с (или же разность а + с – b делится на 11).
Подходит число 176.
в) Чтобы число делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы его сумма цифр была кратна 3, а число, составленное из двух последних цифр, было кратно 4.
Заметим, что вычеркивать последнюю цифру, 6, нельзя: чтобы число осталось четным, нужно будет вычеркнуть и предпоследнюю 5, после чего оставшееся число не будет делиться на 3.
Вычеркивать предпоследнюю цифру, 5, тоже нельзя: чтобы число было кратно 4, нужно будет вычеркивать и третью с конца 4, но тогда результат не будет делиться на 3.
Таким образом, последними цифрами остаются 5 и 6. При этом условие делимости на 4 выполняется.
Осталось условие делимости на 3. Поскольку сумма цифр числа N равна 40, сумма двух вычеркнутых цифр должна быть равна 4, 7 или 10 – то есть при делении на 3 давать остаток 1. Значения меньшие 4 или большие 10 в условиях задачи невозможны.
Получить 4 можно, вычеркнув две двойки (единственным способом).
Получить 7 – вычеркнув комбинацию «2; 5» или «3; 4». Комбинацию «2; 5» можно вычеркнуть двумя способами – поскольку предпоследнюю пятерку мы не трогаем и вместе с остающейся пятеркой можем взять одну из двух двоек.
Для комбинации «3; 4» возможны 4 способа.
Наконец, пару «4; 6» можно вычеркнуть двумя способами – поскольку мы не трогаем последнюю шестерку.
Всего получается 9 способов.
* Авторская задача Антона Акимова
Ответ:
а) нет;
б)176;
б) 9.
Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)
Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.
Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!
СмотретьДля нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.
Премиум
Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.
Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.
- Уравнения (задача 13)
- Стереометрия (задача 14)
- Неравенства (задача 15)
- Геометрия (задача 16)
- Финансовая математика (задача 17)
- Параметры (задача 18)
- Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).
Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.
Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.
Получи пятерку
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.
Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.
Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.
Как пользоваться?
- Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
- Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
- Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
- Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
- Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.
Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.
