Решение. Задание 13, Вариант 1

Условие задачи

(Авторская задача) Дано уравнение: \(\displaystyle \frac{11-6cos 2x-16sin x}{\sqrt{\log_{5}tg x}}=0.\)

а) Решите уравнение.

б) Найдите все его корни на отрезке \([-4π ; 0]\).

Решение

a) \(\displaystyle \frac{11-6cos 2x-16sin x}{\sqrt{\log_{5}tg x}}=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
11-6\cos 2x-16\sin x=0,\\
\log_{5}\textup{tg}x>0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
11-6(1-2\sin ^{2}x)-16\sin x=0,\\
\textup{tg}x>1;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
sinx=\displaystyle \frac{1}{2}, \\sinx=\displaystyle \frac{5}{6},
\end{matrix}\right. \\tgx > 1;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[\begin{matrix}
x=\displaystyle \frac{\pi }{6}+2\pi n, \ n\in Z, \\x=\displaystyle \frac{5\pi }{6}+2\pi n,
\\x=arcsin\left(\displaystyle \frac{5}{6}\right)+2\pi n,
\\x=\pi -arcsin\left(\displaystyle \frac{5}{6}\right)+2\pi n,
\end{matrix}\right. \\tgx> 1.
\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=\arcsin \displaystyle \frac{5}{6}+2\pi n.\)

Остальные серии решений не удовлетворяют условию \(tgx>1.\)

Если \(\sin x= \displaystyle \frac{5}{6}\), и \(x\in \left [-\displaystyle \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]\) то

\(\cos x=\sqrt{1-\displaystyle \frac{25}{36}}=\sqrt{\displaystyle \frac{11}{6}}, \textup{tg}x=\displaystyle \frac{5}{\sqrt{11}}> 1.\)
\( \textup{tg}x> 0.\)

б) Найдем корни уравнения на отрезке \([-4π ; 0].\)

На отрезке \([-2π ; 0]\) уравнение имеет единственный корень: \(x_{1}=-2\pi+\arcsin \displaystyle \frac{5}{6}.\)

На отрезке \([-4π ; -2π]\) корень также единственный: \(x_{2}=-4\pi+\arcsin \displaystyle \frac{5}{6}.\)

Ответ:

a) \(x=\arcsin \displaystyle \frac{5}{6}+2\pi n.\)

б) \(x_{1}=\arcsin \displaystyle \frac{5}{6}-4\pi ; \ x_{2}=\arcsin \frac{5}{6}-2\pi. \)