previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 13, Вариант 1

Условие задачи

(Авторская задача) Дано уравнение:

 

\displaystyle \frac{11-6cos 2x-16sin x}{\sqrt{\log_{5}tg x}}=0

а) Решите уравнение

б) Найдите все его корни на отрезке [-4π ; 0].

Решение

a) \displaystyle \frac{11-6cos 2x-16sin x}{\sqrt{\log_{5}tg x}}=0

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}11-6\cos 2x-16\sin x=0\\\log_{5}\textup{tg}x>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}11-6(1-2\sin ^{2}x)-16\sin x=0\\\textup{tg}x>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}12\sin ^{2}x-16\sin x+5=0\\\textup{tg}x>1\end{matrix}\right.

\sin x=t
12t^{2}-16t+5=0
D=16^{2}-4\cdot 12\cdot 5=16(16-15)=16;
t=\frac{16\pm 4}{24};
\left[\begin{gathered}t_{1}=5/6 \\t_{2}=1/2\\\end{gathered}\right.



\Leftrightarrow x=\arcsin \frac{5}{6}+2\pi n

Остальные серии решений не удовлетворяют условию tgx>1.

Если \sin x= \frac{5}{6}, и x\in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}] то

\cos x=\sqrt{1-\frac{25}{36}}=\sqrt{\frac{11}{6}}, \textup{tg}x=\frac{5}{\sqrt{11}}> 1
\textup{tg}x> 0

б) Найдем корни уравнения на отрезке [-4π ; 0].

На отрезке [-2π ; 0] уравнение имеет единственный корень x_{1}=-2\pi+\arcsin \frac{5}{6}.
На отрезке [-4π ; -2π] корень также единственный: x_{2}=-4\pi+\arcsin \frac{5}{6}.

Ответ:

a) x=\arcsin \frac{5}{6}+2\pi n
б) x_{1}=\arcsin \frac{5}{6}-4\pi ; x_{2}=\arcsin \frac{5}{6}-2\pi