Решение. Задание 13, Вариант 1

Условие задачи

(Авторская задача) Дано уравнение:

$\displaystyle \frac{11-6cos 2x-16sin x}{\sqrt{\log_{5}tg x}}=0.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите все его корни на отрезке [-4π ; 0].

Решение

a) $\displaystyle \frac{11-6cos 2x-16sin x}{\sqrt{\log_{5}tg x}}=0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}11-6\cos 2x-16\sin x=0\\\log_{5}\textup{tg}x>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}11-6(1-2\sin ^{2}x)-16\sin x=0\\\textup{tg}x>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}12\sin ^{2}x-16\sin x+5=0\\\textup{tg}x>1\end{matrix}\right.$

$\sin x=t$
$12t^{2}-16t+5=0$
$D=16^{2}-4\cdot 12\cdot 5=16(16-15)=16;$
$t=\frac{16\pm 4}{24};$
$\left[\begin{gathered}t_{1}=5/6 \\t_{2}=1/2\\\end{gathered}\right.$

$\Leftrightarrow x=\arcsin \frac{5}{6}+2\pi n.$

Остальные серии решений не удовлетворяют условию $tgx>1$ .

Если $\sin x= \frac{5}{6}$ , и $x\in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ то

$\cos x=\sqrt{1-\frac{25}{36}}=\sqrt{\frac{11}{6}}, \textup{tg}x=\frac{5}{\sqrt{11}}> 1;$
$\textup{tg}x> 0.$

б) Найдем корни уравнения на отрезке [-4π ; 0].

На отрезке [-2π ; 0] уравнение имеет единственный корень: $x_{1}=-2\pi+\arcsin \frac{5}{6}.$

На отрезке [-4π ; -2π] корень также единственный: $x_{2}=-4\pi+\arcsin \frac{5}{6}.$

Ответ:

a) $x=\arcsin \frac{5}{6}+2\pi n.$
б) $x_{1}=\arcsin \frac{5}{6}-4\pi ; x_{2}=\arcsin \frac{5}{6}-2\pi.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Решение. Задание 13, Вариант 1» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 10.03.2023

Решение. Задание 13, Вариант 1

Это полезно