Условие задачи
(Авторская задача) Дано уравнение:
\(\displaystyle \frac{11-6cos 2x-16sin x}{\sqrt{\log_{5}tg x}}=0.\)
а) Решите уравнение.
б) Найдите все его корни на отрезке [-4π ; 0].
Решение
a) \(\displaystyle \frac{11-6cos 2x-16sin x}{\sqrt{\log_{5}tg x}}=0\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
11-6\cos 2x-16\sin x=0\\
\log_{5}\textup{tg}x>0
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
11-6(1-2\sin ^{2}x)-16\sin x=0\\
\textup{tg}x>1
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\)
|
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 12\sin ^{2}x-16\sin x+5=0\\ \textup{tg}x>1 \end{matrix}\right.\) |
\(\sin x=t\) |
.
\(\Leftrightarrow x=\arcsin \frac{5}{6}+2\pi n.\)
Остальные серии решений не удовлетворяют условию \(tgx>1\).
Если \(\sin x= \frac{5}{6}\), и \(x\in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]\) то
\(\cos x=\sqrt{1-\frac{25}{36}}=\sqrt{\frac{11}{6}}, \textup{tg}x=\frac{5}{\sqrt{11}}> 1;\)
\( \textup{tg}x> 0.\)
б) Найдем корни уравнения на отрезке [-4π ; 0].
На отрезке [-2π ; 0] уравнение имеет единственный корень: \(x_{1}=-2\pi+\arcsin \frac{5}{6}.\)
На отрезке [-4π ; -2π] корень также единственный: \(x_{2}=-4\pi+\arcsin \frac{5}{6}.\)
Ответ:
a) \(x=\arcsin \frac{5}{6}+2\pi n.\)
б) \(x_{1}=\arcsin \frac{5}{6}-4\pi ; x_{2}=\arcsin \frac{5}{6}-2\pi. \)
