Решение. Задание 14, Вариант 1

Условие задачи

(Авторская задача) На продолжении ребра SA правильного тетраэдра SABC отмечена точка Р так, что SA = 2 AP. Точки М и N – середины ребер ВС и АС соответственно. Прямая PN пересекает ребро SC в точке Q.

а) Докажите, что плоскость QMN перпендикулярна ребру SC.

б) Найдите объем треугольной пирамиды SQMN, если все ребра тетраэдра равны 4.

Решение

а) Покажем, что (MNQ) ⊥SC.
Правильный тетраэдр – треугольная пирамида, все грани которой представляют собой правильные треугольники. Скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра взаимно перпендикулярны, поэтому АВ⊥SC. Это легко доказать.
Отрезок СО – проекция ребра SC на плоскость основания.
СО⊥АВ, так как О – центр правильного треугольника АВС. По теореме о трех перпендикулярах SC⊥AB. Заметим, что MN∥AB как средняя линия в треугольнике АВС, и значит, SC⊥ MN.
Пусть ребро тетраэдра равно а.
Отрезок PQ лежит в плоскости боковой грани SAC.

Треугольник APN – равнобедренный,
; тогда

∠NCQ=60°, тогда из △NCQ получим, что ∠NQC=90°, PQ⊥SC.
Таким образом, прямая SC перпендикулярна двум пересекающимся прямым MN и NQ, лежащим в плоскости MNQ. Значит, она перпендикулярна и всей плоскости MNQ.
б) Найдем объем пирамиды SMNQ.
Пусть △ MNQ – основание пирамиды, SQ – ее высота, поскольку SQ⊥(MNQ).
В треугольнике CNQ угол QNC равен 30°, следовательно,

Поскольку треугольники NCQ и MCQ равны, MQ=NQ=
В треугольнике

Ответ:

б)