previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 14, Вариант 1

Условие задачи

(Авторская задача) На продолжении ребра SA правильного тетраэдра SABC отмечена точка Р так, что SA = 2 AP. Точки М и N – середины ребер ВС и АС соответственно. Прямая PN пересекает ребро SC в точке Q.

а) Докажите, что плоскость QMN перпендикулярна ребру SC.

б) Найдите объем треугольной пирамиды SQMN, если все ребра тетраэдра равны 4.

Решение

а) Покажем, что (MNQ) ⊥SC.
Правильный тетраэдр – треугольная пирамида, все грани которой представляют собой правильные треугольники. Скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра взаимно перпендикулярны, поэтому АВ⊥SC. Это легко доказать.
Отрезок СО – проекция ребра SC на плоскость основания.
СО⊥АВ, так как О – центр правильного треугольника АВС. По теореме о трех перпендикулярах SC⊥AB. Заметим, что MN∥AB как средняя линия в треугольнике АВС, и значит, SC⊥ MN.
Пусть ребро тетраэдра равно а.
Отрезок PQ лежит в плоскости боковой грани SAC.

Треугольник APN – равнобедренный,
AP=AN=\frac{a}{2}; тогда
\angle APN=\angle ANP=\frac{180^{\circ}-\angle PAN}{2}=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}

∠NCQ=60°, тогда из △NCQ получим, что ∠NQC=90°,
PQ⊥SC
Таким образом, прямая SC перпендикулярна двум пересекающимся прямым MN и NQ, лежащим в плоскости MNQ. Значит, она перпендикулярна и всей плоскости MNQ.
б) Найдем объем пирамиды SMNQ.
Пусть △ MNQ – основание пирамиды, SQ – ее высота, поскольку SQ⊥(MNQ).
В треугольнике CNQ угол QNC равен 30°, следовательно,
QC=\frac{1}{2}; NC=\frac{1}{4}; AC=1,SQ=\frac{3}{4}; AC=3; NQ=\sqrt{3}
Поскольку треугольники NCQ и MCQ равны, MQ=NQ=\sqrt{3}
В треугольнике
NMQ: MQ=NQ=\sqrt{3};MN=\frac{1}{2} AB=2;
S_{ \Delta NMQ}=\sqrt{2}; V_{ SNMQ}=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot \sqrt{2}=\sqrt{2}

Ответ:

б) V_{ SNMQ}=\sqrt{2}