Условие задачи
(Авторская задача)
Решите неравенство: \(\sqrt{log_{2}^{2}\left| x\right|-log_{2}\displaystyle \frac{x^{2}}{2}}\geq \displaystyle \frac{1}{3}log_{2}8\left| x\right|.\)
Решение
ОДЗ: \(x\neq 0.\)
\(3\sqrt{\log_{2}^{2}\left | x \right |-\log_{2}x^{2} +1} \geq \log_{2}\left | x \right |+3.\)
Замена: \(t=\log_{2}\left | x \right |\), тогда \(\log_{2}x^{2}=2t.\)
\(3\sqrt{t^{2}-2t+1}\geq t+3;\)
\(3\sqrt{(t-1)^{2}}\geq t+3;\)
\(3 \left | t-1 \right | \geq t+3\Leftrightarrow \left[
\begin{gathered}
3t-3\geq t+3, \\
3t-3\leq -t-3; \\
\end{gathered}
\right.\Leftrightarrow \left[
\begin{gathered}
t\geq 3, \\
t\leq 0. \\
\end{gathered}
\right. \)
Как решаются неравенства вида \(|f(x)| \leq g(x)\) и \(|f(x)| \geq g(x)\)? Можно раскрывать модуль по определению. А можно воспользоваться правилом:
\(\left | A \right |\leq B\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A\leq B,
\\
A\geq -B;
\end{matrix}\right.\)
\(\left| A \right |\geq B\Leftrightarrow \left[
\begin{gathered} A\geq B,
\\
A\leq -B.\\
\end{gathered}
\right.\)
Вернемся к переменной \(x\):
\( \left\{\begin{matrix}
\left[
\begin{gathered}
\log_{2}\left| x \right |\geq 3,\\
\log_{2}\left| x \right |\leq 0, \\
\end{gathered}
\right.
\\
x\neq 0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[
\begin{gathered}
\left | x \right |\geq 8,\\
\left | x \right |\leq 1,\\
\end{gathered}
\right.
\\
x\neq 0.
\end{matrix}\right. \)
Ответ:
\(x\in (-\infty ;-8]\cup [-1;0)\cup (0;1]\cup [8;+\infty ).\)
