previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 15, Вариант 1

Условие задачи

(Авторская задача)

Решите неравенство:

Решение

ОДЗ: x\neq 0
3\sqrt{\log_{2}^{2}\left | x \right |-\log_{2}x^{2} +1} \geq \log_{2}\left | x \right |+3
Замена t=\log_{2}\left | x \right |, тогда \log_{2}x^{2}=2t

3\sqrt{t^{2}-2t+1}\geq t+3

3\sqrt{(t-1)^{2}}\geq t+3
3 \left | t-1 \right | \geq t+3\Leftrightarrow \left[\begin{gathered}3t-3\geq t+3 \\3t-3\leq -t-3 \\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{gathered}t\geq 3 \\t\leq 0 \\\end{gathered}\right.

Как решаются неравенства вида |f(x)| ≤ g(x) и |f(x)| ≥ g(x)? Можно раскрывать модуль по определению. А можно воспользоваться правилом:

Вернемся к переменной х:
\left\{\begin{matrix}\left[\begin{gathered}\log_{2}\left| x \right |\geq 3\\\log_{2}\left| x \right |\leq 0 \\\end{gathered}\right.\\x\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{gathered}\left | x \right |\geq 8\\\left | x \right |\leq 1\\\end{gathered}\right.\\x\neq 0\end{matrix}\right.

Ответ:

x\in (-\infty ;-8]\cup [-1;0)\cup (0;1]\cup [8;+\infty )