Условие задачи
(Авторская задача) Боковая сторона \(AB\) трапеции \(ABCD\) перпендикулярна основаниям \(AD\) и \(BC\). Из точки \(M\), лежащей на стороне \(AB\), опущен перпендикуляр \(MP\) на противоположную боковую сторону.
а) Докажите, что точки \(M, \ B, \ C\) и \(P\) лежат на одной окружности.
б) Найдите площадь трапеции \(ABCD\), если радиус вписанной в нее окружности равен 6, а отношение \(AP : DM = 3 : 5.\)
Решение
а) В четырехугольнике \(MBCP\) углы \(B\) и \(P\) – прямые, их сумма равна 180 градусов. Следовательно, точки \(M, \ B, \ C\) и \(P\) лежат на одной окружности.
б) Четырёхугольники \(MBCP\) и \(AMPD\) – вписанные в окружности.
\(\angle MBP=\angle MCP\) (опираются на дугу \(MP\) верхней окружности).
\(\angle MAP=\angle MDP\) (опираются на дугу \(MP\) нижней окружности).
\(\bigtriangleup ABP\sim \bigtriangleup DCM\) по двум углам,
\(\displaystyle \frac{AP}{DM}=\frac{AB}{CD}=\sin \angle ADC=\frac{3}{5}\) (по условию).
Если в трапецию \(ABCD\) вписана окружность, то \(AB=2r=12\), тогда \(CD=AB\cdot \displaystyle \frac{5}{3}=20,\)
\(AB+CD=AD+BC=32,\)
\(S_{TP}=\displaystyle \frac{AD+BC}{2}\cdot AB=\frac{32}{2}\cdot 12=16\cdot 12=192.\)
Ответ:
192.
