Решение. Задание 16, Вариант 1

Условие задачи

(Авторская задача) Боковая сторона АВ трапеции ABCD перпендикулярна основаниям АD и ВС. Из точки М, лежащей на стороне АВ, опущен перпендикуляр МР на противоположную боковую сторону.

а) Докажите, что точки М, В, С и Р лежат на одной окружности.

б) Найдите площадь трапеции ABCD, если радиус вписанной в нее окружности равен 6,
а отношение АР : DM = 3 : 5.

Решение

а) В четырехугольнике МВСР углы В и Р - прямые, их сумма равна 180 градусов. Следовательно, точки М, В, С и Р лежат на одной окружности.

б) Четырёхугольники $MBCP$ и $AMPD$ - вписанные в окружности.

$\angle MBP=\angle MCP$ (опираются на дугу $MP$ верхней окружности).

$\angle MAP=\angle MDP$ (опираются на дугу $MP$ нижней окружности).

$\bigtriangleup ABP\sim \bigtriangleup DCM$ по двум углам,

$\frac{AP}{DM}=\frac{AB}{CD}=\sin \angle ADC=\frac{3}{5}$ (по условию).

Если в трапецию $ABCD$ вписана окружность, то $AB=2r=12$ , тогда $CD=AB\cdot \frac{5}{3}=20,$

$AB+CD=AD+BC=32,$

$S_{TP}=\frac{AD+BC}{2}\cdot AB=\frac{32}{2}\cdot 12=16\cdot 12=192.$

Ответ:

192.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Решение. Задание 16, Вариант 1» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 07.09.2023

Решение. Задание 16, Вариант 1

Это полезно