Условие задачи
Авторская задача.
При каких значениях параметра \(a\) система уравнений
\(\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2\leq x^2\cdot y^2+1,\\
x^2+y^2\leq 2,\\
(x-a)^2+(y-a)^2=\begin{vmatrix}
a
\end{vmatrix}
\end{matrix}\right. \) имеет единственное решение?
Решение
Заметим, что параметр в этой системе есть только в третьем уравнении. А в неравенствах – ни в первом, ни во втором – его нет.
Начнем с первого неравенства:
\(x^{2}y^{2}-x^{2}-y^{2}+1\geq 0;\)
\(x^{2}(y^{2}-1)-(y^{2}-1)\geq 0;\)
\((x^{2}-1)(y^{2}-1)\geq 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
\left\{\begin{matrix}
x^{2}\leq 1, \\y^{2}\leq 1,
\end{matrix}\right. \ (1)\\\left\{\begin{matrix}
x^{2}\geq 1, \\y^{2}\geq 1.
\end{matrix}\right. \ (2)
\end{matrix}\right.\)
Первая система неравенств задает квадрат с центром в начале координат и сторонами, параллельными координатным осям; длины сторон равны 2.
Решения второй системы неравенств показаны на рисунке:
Решим второе неравенство системы:
\(x^2+y^2\leq 2.\)
На координатной плоскости это неравенство задает круг с центром в начале координат и радиусом \(\sqrt{2}\). Совместим решения первого и второго неравенств.
Уравнение \((x-a)^2+(y-a)^2=|a|\) задает окружность радиуса \(\sqrt{|a|}\) с центром \((a;a).\)
Это значит, что ее центр лежит на прямой \( y= x.\)
Параметр \(a\) может быть положительным или отрицательным. Он может быть также равным нулю, и решением будет точка \((0;0).\) Тогда исходная система имеет единственное значение, поскольку точка \((0;0)\) лежит внутри квадрата, задаваемого первым и вторым неравенствами.
Исходная система также имеет единственное решение, если окружность, задаваемая третьим уравнением, проходит через точку \(A\) или точку \(B\) на рисунке. Во всех остальных случаях система не имеет решений или имеет более одного решения.
Найдем, при каких значениях параметра задаваемая третьим уравнением окружность проходит через точку \(A\) или через точку \(B\).
1. Подставим координаты точки уравнения \(A(1;1)\) в третье уравнение.
Получим:
\(\left\{\begin{matrix}
2(a-1)^2=|a|,\\
a>0.
\end{matrix}\right. \)
Условие \(a>0\) добавлено потому, что центр окружности расположен дальше от начала координат, чем точка \(A\). Значит, обе координаты центра окружности положительны.
При \(a>0\) имеем:
\(|a|=a\) и \(\left\{\begin{matrix}
2(a-1)^2=a,\\
a>0.
\end{matrix}\right. \)
Решения системы: \(a=2\) и \(a=\displaystyle \frac{1}{2}.\)
Но если \(a=\displaystyle \frac{1}{2}\), центр окружности лежит внутри квадрата и система имеет бесконечно много решений.
Значит, единственное решение будет при \(a = 2.\)
2. Подставив координаты точки \(B\) в уравнение окружности, получим:
\(\left\{\begin{matrix}
2(a+1)^2=|a|,\\
a<0; \end{matrix}\right. \; \left[\begin{matrix}
a=-2, \\a=-\displaystyle \frac{1}{2}.
\end{matrix}\right.\)
Второе значение нам не подходит – как и в предыдущем пункте.
Исходная система имеет единственное решение, если \(a=-2.\)
Ответ:
-2, 0, 2.
