Условие задачи
Авторская задача.
При каких значениях параметра а система уравнений
имеет единственное решение?
Решение
Заметим, что параметр в этой системе есть только в третьем уравнении. А в неравенствах – ни в первом, ни во втором – его нет.
Начнем с первого неравенства:
Первая система неравенств задает квадрат с центром в начале координат и сторонами, параллельными координатным осям; длины сторон равны 2.
Решения второй системы неравенств показаны на рисунке:
Решим второе неравенство системы:
На координатной плоскости это неравенство задает круг с центром в начале координат и радиусом . Совместим решения первого и второго неравенств.
Уравнение задает окружность радиуса
с центром (a;a).
Это значит, что ее центр лежит на прямой y = x.
Параметр а может быть положительным или отрицательным. Он может быть также равным нулю, и решением будет точка (0;0). Тогда исходная система имеет единственное значение, поскольку точка (0;0) лежит внутри квадрата, задаваемого первым и вторым неравенствами.
Исходная система также имеет единственное решение, если окружность, задаваемая третьим уравнением, проходит через точку A или точку B на рисунке. Во всех остальных случаях система не имеет решений или имеет более одного решения.
Найдем, при каких значениях параметра задаваемая третьим уравнением окружность проходит через точку А или через точку В.
1. Подставим координаты точки уравнения A(1;1) в третье уравнение.
Получим:
Условие добавлено потому, что центр окружности расположен дальше от начала координат, чем точка А. Значит, обе координаты центра окружности положительны.
При имеем:
и
Решения системы: и
.
Но если , центр окружности лежит внутри квадрата и система имеет бесконечно много решений.
Значит, единственное решение будет при .
2.Подставив координаты точки B в уравнение окружности, получим:
,
.
Второе значение нам не подходит – как и в предыдущем пункте.
Исходная система имеет единственное решение, если .
Ответ:
-2, 0, 2.