Решение. Задание 18, Вариант 2

Условие задачи

Авторская задача.

При каких значениях параметра $a$ система уравнений

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2\leq x^2\cdot y^2+1\\ x^2+y^2\leq 2\\ (x-a)^2+(y-a)^2=\begin{vmatrix}a\end{vmatrix}\end{matrix}\right.$

имеет единственное решение?

Решение

Заметим, что параметр в этой системе есть только в третьем уравнении. А в неравенствах – ни в первом, ни во втором – его нет.
Начнем с первого неравенства:

Первая система неравенств задает квадрат с центром в начале координат и сторонами, параллельными координатным осям; длины сторон равны 2.

Решения второй системы неравенств показаны на рисунке:

Решим второе неравенство системы:

$x^2+y^2\leq 2.$

На координатной плоскости это неравенство задает круг с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{2}$ . Совместим решения первого и второго неравенств.

Уравнение $(x-a)^2+(y-a)^2=|a|$ задает окружность радиуса $\sqrt{|a|}$ с центром (a;a).

Это значит, что ее центр лежит на прямой y = x.

Параметр $a$ может быть положительным или отрицательным. Он может быть также равным нулю, и решением будет точка (0;0). Тогда исходная система имеет единственное значение, поскольку точка (0;0) лежит внутри квадрата, задаваемого первым и вторым неравенствами.

Исходная система также имеет единственное решение, если окружность, задаваемая третьим уравнением, проходит через точку A или точку B на рисунке. Во всех остальных случаях система не имеет решений или имеет более одного решения.

Найдем, при каких значениях параметра задаваемая третьим уравнением окружность проходит через точку А или через точку В.

1. Подставим координаты точки уравнения A(1;1) в третье уравнение.
Получим:

$\left\{\begin{matrix}2(a-1)^2=|a|\\ a>0\end{matrix}\right. .$

Условие $a>0$ добавлено потому, что центр окружности расположен дальше от начала координат, чем точка А. Значит, обе координаты центра окружности положительны.