Решение. Задание 18, Вариант 2

Условие задачи

Авторская задача.

При каких значениях параметра а система уравнений

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2\leq x^2\cdot y^2+1\\ x^2+y^2\leq 2\\ (x-a)^2+(y-a)^2=\begin{vmatrix}a\end{vmatrix}\end{matrix}\right.$

имеет единственное решение?

Решение

Заметим, что параметр в этой системе есть только в третьем уравнении. А в неравенствах – ни в первом, ни во втором – его нет.
Начнем с первого неравенства:

Первая система неравенств задает квадрат с центром в начале координат и сторонами, параллельными координатным осям; длины сторон равны 2.

Решения второй системы неравенств показаны на рисунке:

Решим второе неравенство системы:
$x^2+y^2\leq 2$
На координатной плоскости это неравенство задает круг с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{2}$ . Совместим решения первого и второго неравенств.

Уравнение $(x-a)^2+(y-a)^2=|a|$ задает окружность радиуса $\sqrt{|a|}$ с центром (a;a).
Это значит, что ее центр лежит на прямой y = x.

Параметр а может быть положительным или отрицательным. Он может быть также равным нулю, и решением будет точка (0;0). Тогда исходная система имеет единственное значение, поскольку точка (0;0) лежит внутри квадрата, задаваемого первым и вторым неравенствами.

Исходная система также имеет единственное решение, если окружность, задаваемая третьим уравнением, проходит через точку A или точку B на рисунке. Во всех остальных случаях система не имеет решений или имеет более одного решения.

Найдем, при каких значениях параметра задаваемая третьим уравнением окружность проходит через точку А или через точку В.
1. Подставим координаты точки уравнения A(1;1) в третье уравнение.
Получим:

$\left\{\begin{matrix}2(a-1)^2=|a|\\ a>0\end{matrix}\right.$

Условие $a>0$ добавлено потому, что центр окружности расположен дальше от начала координат, чем точка А. Значит, обе координаты центра окружности положительны.

При $a>0$ имеем:

$|a|=a$

$\left\{\begin{matrix}2(a-1)^2=a\\ a>0\end{matrix}\right.$

Решения системы: $a=2$ и $a=\frac{1}{2}$ .

Но если $a=\frac{1}{2}$ , центр окружности лежит внутри квадрата и система имеет бесконечно много решений.

Значит, единственное решение будет при $a = 2$ .

2.Подставив координаты точки B в уравнение окружности, получим:

$\left\{\begin{matrix}2(a+1)^2=|a|\\ a<0\end{matrix}\right.$ ,

Второе значение нам не подходит – как и в предыдущем пункте.

Исходная система имеет единственное решение, если $a=-2$ .

Ответ:

-2, 0, 2.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

Уравнения (задача 13)

Стереометрия (задача 14)

Неравенства (задача 15)

Геометрия (задача 16)

Финансовая математика (задача 17)

Параметры (задача 18)

Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Как пользоваться?

Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.

Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.

Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!

Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.

Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.