Условие задачи
Авторская задача.
При каких значениях параметра \(a\) система уравнений
\(\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2\leq x^2\cdot y^2+1\\
x^2+y^2\leq 2\\
(x-a)^2+(y-a)^2=\begin{vmatrix}
a
\end{vmatrix}
\end{matrix}\right. \)
имеет единственное решение?
Решение
Заметим, что параметр в этой системе есть только в третьем уравнении. А в неравенствах – ни в первом, ни во втором – его нет.
Начнем с первого неравенства:
Первая система неравенств задает квадрат с центром в начале координат и сторонами, параллельными координатным осям; длины сторон равны 2.
Решения второй системы неравенств показаны на рисунке:
Решим второе неравенство системы:
\(x^2+y^2\leq 2.\)
На координатной плоскости это неравенство задает круг с центром в начале координат и радиусом \(\sqrt{2}\). Совместим решения первого и второго неравенств.
Уравнение \((x-a)^2+(y-a)^2=|a|\) задает окружность радиуса \(\sqrt{|a|}\) с центром (a;a).
Это значит, что ее центр лежит на прямой y = x.
Параметр \(a\) может быть положительным или отрицательным. Он может быть также равным нулю, и решением будет точка (0;0). Тогда исходная система имеет единственное значение, поскольку точка (0;0) лежит внутри квадрата, задаваемого первым и вторым неравенствами.
Исходная система также имеет единственное решение, если окружность, задаваемая третьим уравнением, проходит через точку A или точку B на рисунке. Во всех остальных случаях система не имеет решений или имеет более одного решения.
Найдем, при каких значениях параметра задаваемая третьим уравнением окружность проходит через точку А или через точку В.
1. Подставим координаты точки уравнения A(1;1) в третье уравнение.
Получим:
\(\left\{\begin{matrix}
2(a-1)^2=|a|\\
a>0
\end{matrix}\right. .\)
Условие \(a>0\) добавлено потому, что центр окружности расположен дальше от начала координат, чем точка А. Значит, обе координаты центра окружности положительны.
При \(a>0\) имеем:
\(|a|=a\)
и
\(\left\{\begin{matrix}
2(a-1)^2=a\\
a>0
\end{matrix}\right. .\)
Решения системы: \(a=2\) и \(a=\frac{1}{2}\) .
Но если \(a=\frac{1}{2}\), центр окружности лежит внутри квадрата и система имеет бесконечно много решений.
Значит, единственное решение будет при \(a = 2\).
2.Подставив координаты точки B в уравнение окружности, получим:
\(\left\{\begin{matrix}
2(a+1)^2=|a|\\
a<0
\end{matrix}\right.\) ;
.
Второе значение нам не подходит – как и в предыдущем пункте.
Исходная система имеет единственное решение, если \(a=-2\).
Ответ:
-2, 0, 2.
