Условие задачи
Авторская задача. При каких значениях параметра \(c\) уравнение \(5sin^2 x=11 sinx+c\) не имеет двух решений на интервале \((0;2π)\)?
Решение
Сделаем замену: \(sin x= t; \ t\in [-1;1].\)
Запишем уравнение в виде: \(c=5t^2-11t \) и рассмотрим функцию \(c(t)=5t^2-11t.\)
Построим график этой функции в координатах \(t, c.\) Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке \(t_0=\displaystyle \frac{11}{10}.\) Она пересекает ось \(t\) в точках \(t=0\) и \(t=\displaystyle \frac{11}{5}.\) Очевидно, нам нужна часть графика при \(t\in [-1;1].\)
Найдем значения функции \(c(t)\) в концах отрезка \([-1;1]:\)
\(t(1)=-6,\)
\(t(-1)=16.\)
На отрезке \([-1;1]\) функция \(c(t)\) убывает и принимает значения от 16 до -6, причем каждое значение \(c\) соответствует только одному значению \(t.\)
Посмотрим на уравнение \(sinx=t\) при \(x\in (0;2π).\)
Уравнение \(sinx=t \) имеет единственное решение на интервале \((0;2π)\) в следующих случаях:
1) Если \(x=\displaystyle \frac{\pi }{2}.\) Тогда \(t=sin \displaystyle \frac{\pi }{2}=1.\)
2) Если \(x=\pi .\) Тогда \(t=sin \pi =0.\)
3) Если \(x=\displaystyle \frac{3\pi }{2}.\) Тогда \(t=sin \displaystyle \frac{3\pi }{2}=-1.\)
При всех остальных \(t\in(-1;1)\) уравнение \(sin x=t\) имеет два решения. Если \(t>1\) или \(t<-1\) – решений нет.
Вернемся к графику функции \(c(t)=5t^2-11t.\)
Если \(t=1,\) то \( c=-6.\)
Если \(t=0,\) то \(c=0.\)
Если \(t=-1,\) то \(c=16.\)
Если \(c>16\) или \(c<-6,\) уравнение \(c(t)=5t^2-11t\) не имеет решений при \(t\in [-1;1].\)
Эти случаи нам также подходят. По условию, исходное уравнение должно иметь одно решение или ни одного решения при \(x\in(0;2π).\)
Ответ:
\(c\in (-\infty ;-16]\cup \begin{Bmatrix}
0
\end{Bmatrix}\cup [6;+\infty ).\)
