Условие задачи
(Авторская задача) При каких значениях параметра \(c\) уравнение \(5sin^2 x=11 sinx+c\) не имеет двух решений на интервале (0;2π)?
Решение
Сделаем замену: sin x= t; t∈[-1;1].
Запишем уравнение в виде: \(c=5t^2-11t \) и рассмотрим функцию \(c(t)=5t^2-11t\).
Построим график этой функции в координатах t,c. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке \(t_0=\frac{11}{10}\). Она пересекает ось t в точках t=0 и \(t=\frac{11}{5}\). Очевидно, нам нужна часть графика при t∈[-1;1].
Найдем значения функции c(t) в концах отрезка [-1;1]:
\(t(1)=-6\),
\(t(-1)=16\).
На отрезке [-1;1] функция c(t) убывает и принимает значения от 16 до -6, причем каждое значение \(c\) соответствует только одному значению \(t\).
Посмотрим на уравнение sinx=t при x∈(0;2π).
Уравнение sinx=t имеет единственное решение на интервале (0;2π) в следующих случаях:
1) Если \(x=\frac{\pi }{2}\) . Тогда \(t=sin \frac{\pi }{2}=1\).
2) Если \(x=\pi \). Тогда \(t=sin \pi =0\).
3) Если \(x=\frac{3\pi }{2}\). Тогда \(t=sin \frac{3\pi }{2}=-1\).
При всех остальных t∈(-1;1) уравнение sin x=t имеет два решения. Если t>1 или t<-1 – решений нет. Вернемся к графику функции \(c(t)=5t^2-11t\). Если \(t=1,\) то \( c=-6.\) Если \(t=0,\) то \(c=0.\) Если \(t=-1,\) то \(c=16.\) Если \(c>16\) или \(c<-6,\) уравнение \(c(t)=5t^2-11t\) не имеет решений при t∈[-1;1]. Эти случаи нам также подходят. По условию, исходное уравнение должно иметь одно решение или ни одного решения при x∈(0;2π).
Ответ:
\(c\in (-\infty ;-16]\cup \begin{Bmatrix}
0
\end{Bmatrix}\cup [6;+\infty ).\)
