Условие задачи
(Авторская задача) При каких значениях параметра уравнение
не имеет двух решений на интервале (0;2π)?
Решение
Сделаем замену: sin x= t; t∈[-1;1].
Запишем уравнение в виде: и рассмотрим функцию
.
Построим график этой функции в координатах t,c. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке . Она пересекает ось t в точках t=0 и
. Очевидно, нам нужна часть графика при t∈[-1;1].
Найдем значения функции c(t) в концах отрезка [-1;1]:
,
.
На отрезке [-1;1] функция c(t) убывает и принимает значения от 16 до -6, причем каждое значение соответствует только одному значению
.
Посмотрим на уравнение sinx=t при x∈(0;2π).
Уравнение sinx=t имеет единственное решение на интервале (0;2π) в следующих случаях:
1) Если . Тогда
.
2) Если . Тогда
.
3) Если . Тогда
.
При всех остальных t∈(-1;1) уравнение sin x=t имеет два решения. Если t>1 или t<-1 – решений нет.
Вернемся к графику функции .
Если то
Если то
Если то
Если или
уравнение
не имеет решений при t∈[-1;1].
Эти случаи нам также подходят. По условию, исходное уравнение должно иметь одно решение или ни одного решения при x∈(0;2π).
Ответ:
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Решение. Задание 18, Вариант 3» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 15.09.2023