Решение. Задание 18, Вариант 3

Условие задачи

(Авторская задача) При каких значениях параметра $c$ уравнение $5sin^2 x=11 sinx+c$ не имеет двух решений на интервале (0;2π)?

Решение

Сделаем замену: sin⁡ x= t; t∈[-1;1].

Запишем уравнение в виде: $c=5t^2-11t$ и рассмотрим функцию $c(t)=5t^2-11t$ .

Построим график этой функции в координатах t,c. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $t_0=\frac{11}{10}$ . Она пересекает ось t в точках t=0 и $t=\frac{11}{5}$ . Очевидно, нам нужна часть графика при t∈[-1;1].

Найдем значения функции c(t) в концах отрезка [-1;1]:

$t(1)=-6$ ,

$t(-1)=16$ .

На отрезке [-1;1] функция c(t) убывает и принимает значения от 16 до -6, причем каждое значение $c$ соответствует только одному значению $t$ .

Посмотрим на уравнение sinx=t при x∈(0;2π).

Уравнение sinx=t имеет единственное решение на интервале (0;2π) в следующих случаях:

1) Если $x=\frac{\pi }{2}$ . Тогда $t=sin \frac{\pi }{2}=1$ .

2) Если $x=\pi$ . Тогда $t=sin \pi =0$ .

3) Если $x=\frac{3\pi }{2}$ . Тогда $t=sin \frac{3\pi }{2}=-1$ .

При всех остальных t∈(-1;1) уравнение sin x=t имеет два решения. Если t>1 или t<-1 – решений нет. Вернемся к графику функции $c(t)=5t^2-11t$ .

Если $t=1,$ то $c=-6.$

Если $t=0,$ то $c=0.$

Если $t=-1,$ то $c=16.$

Если $c>16$ или $c<-6,$ уравнение $c(t)=5t^2-11t$ не имеет решений при t∈[-1;1].

Эти случаи нам также подходят. По условию, исходное уравнение должно иметь одно решение или ни одного решения при x∈(0;2π).

Ответ:

$c\in (-\infty ;-16]\cup \begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}\cup [6;+\infty ).$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Решение. Задание 18, Вариант 3» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 12.03.2023

Решение. Задание 18, Вариант 3

Это полезно