Решение. Задание 18, Вариант 4.

Условие задачи

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.

$\left\{\begin{matrix}\displaystyle \frac{xy^{2}-3xy-3y+9}{\sqrt{x+3}}=0& \\ y=ax& \end{matrix}\right. .$

Решение

$\left\{\begin{matrix}\displaystyle \frac{xy^{2}-3xy-3y+9}{\sqrt{x+3}}=0& \\ y=ax& \end{matrix}\right. .$

Разложим на множители числитель дроби в первом уравнении:

$xy^2-3xy-3y+9=xy(y-3)-3(y-3)=(xy-3)(y-3)$ .

Система примет вид:

$\left\{\begin{matrix}\displaystyle \frac{(xy-3)(y-3)}{\sqrt{x+3}}=0& \\ y=ax& \end{matrix}\right. .$

Область допустимых значений: $x>-3$ .

Решим систему графически:

Система имеет ровно 2 различных решения только в следующих случаях:

1) Прямая у=ах проходит через точку А(1;3). Тогда а=3.

2) Прямая у=ах пересекает только правую ветвь гиперболы $y=\frac{3}{x}$ и прямую у=3. Это значит, что точка пересечения прямых у=ах и х=-3 лежит выше точки В и ниже оси абсцисс.
В точке В (-3;1) значение параметра а равно $\frac{1}{3}$ .
Значит, ровно два решения в этом случае будут, если 0 < a < $\frac{1}{3}$ .

Ответ:

$(0; \frac{1}{3})\cup \begin{Bmatrix}{3}\end{Bmatrix}.$

Решение. Задание 18, Вариант 4.

Это полезно