Решение. Задание 19, Вариант 1

Условие задачи

Последовательность $a_1,\ a_2,...,a_n \ (n\geq 3)$ состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 60.

б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 8?

Решение

По условию, $a_{k}> \displaystyle \frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}.$

Вспомним, что для арифметической прогрессии

$a_{k}= \displaystyle \frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2};$

для нашей последовательности:
$a_{k-1}+a_{k+1}<2a_{k}=>a_{k+1}-a_{k}<a_{k}-a_{k-1}.$

Что это означает? Что чем дальше, тем меньше члены последовательности отличаются друг от друга. Разность между соседними членами последовательности уменьшается с ростом их номера k.

И если $d_{k}=a_{k+1}-a_{k}$ , то $d_{k}<d_{k-1}<d_{k-2}$ ...
Например, $d_{5}<d_{4}<d_{3}<d_{2}<d_{1}$ .

а) Последовательность 6, 10, 13, 15, 16 удовлетворяет условию.

б) Если разности между соседними членами последовательности уменьшаются, может ли такая разность стать равной нулю? Это будет означать, что в последовательности есть одинаковые члены.
Последовательность 6, 10, 13, 13, 10 удовлетворяет условию.
Разность между соседними ее членами уменьшается до нуля, а затем становится отрицательной.

в) Найдем $S_{min}$ , если $n=8$ .

Мы нашли, что $d_{7}<d_{6}<...<d_{1}$ (разность между соседними членами последовательности уменьшается с увеличением их номера $k$ ).

Запишем это условие в виде
$d_{7}\leq d_{6}-1\leq d_{5}-2\leq ...\leq d_{1}-6$ ;

и в общем виде:
$d_{k}\leq d_{k-1}-1\leq d_{k-2}-2...\leq d_{1}-k+1$ .

Здесь $d_{k}=a_{k+1}-a_{k}$ , отсюда

$d_{k-1}\geq d_{k}+1;\ d_{k-2}\geq d_{k}+2...;\ d_{1}\geq d_{k}+k-1.$

Тогда

$a_{1}=a_{k}-d_{k-1}-d_{k-2}-...-d_{1}\leq a_{k}-(d_{k}+1)-(d_{k}+2)...- -(d_{k}-k+1).$

То есть

$a_{1}\leq a_{k}-(k-1)d_k-\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}$ ;

$a_{8}=a_{k}+d_{k}+d_{k+1}+ ...+d_{7}\leq$

$\leq a_{k}+d_{k}+(d_{k}-1)+(d_{k}-2)+...+(d_{k}-7+k);$

$a_{8}\leq a_{k}+(8-k)d_k- \displaystyle \frac {(7-k)(8-k)}{2}.$

Мы получим систему:

$\left\{\begin{matrix}a_k-(k-1)d_k-\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}\geq 1 \\\\a_k+(8-k)d_k-\displaystyle \frac{(7-k)(8-k)}{2}\geq 1\end{matrix}\right. .$

Исключим из этой системы $d_k$ , оставив $a_{k}$ и $k$ в качестве переменных.
Для этого умножим первое неравенство системы на 8-k, а второе на k-1 и сложим их. Получим:

$7a_k-\displaystyle \frac{7(k-1)(8-k)}{2}\geq 7;$

$a_k\geq \displaystyle \frac{(k-1)(8-k)}{2}+1.$

По условию, $2\leq k \leq 7$ .

Тогда $a_{1} \geq 1; \ a_{2} \geq 4;\ a_{3} \geq 6;\ a_{4} \geq 7;\ a_{5} \geq 7;\ a_{6} \geq 6;\ a_{7} \geq 4;\ a_{8} \geq 1$ .
Их сумма $S\geq 36$ . Это оценка.
Приведём пример.
Последовательность 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1 удовлетворяет условию.

Ответ:

а) Да, может. Пример: 6, 10, 13, 15, 16.
б) Да, может. Пример: 6, 10, 13, 13, 10.
в) Максимальная сумма: 36. Пример: последовательность 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Решение. Задание 19, Вариант 1» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 10.03.2023

Решение. Задание 19, Вариант 1

Это полезно