Условие задачи
Последовательность состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 60.
б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 8?По условию,
Решение
Вспомним, что для арифметической прогрессии
для нашей последовательности:
Что это означает? Что чем дальше, тем меньше члены последовательности отличаются друг от друга. Разность между соседними членами последовательности уменьшается с ростом их номера k.
И если , то
...
Например, .
а) Последовательность 6, 10, 13, 15, 16 удовлетворяет условию.
б) Если разности между соседними членами последовательности уменьшаются, может ли такая разность стать равной нулю? Это будет означать, что в последовательности есть одинаковые члены.
Последовательность 6, 10, 13, 13, 10 удовлетворяет условию.
Разность между соседними ее членами уменьшается до нуля, а затем становится отрицательной.
в) Найдем , если
.
Мы нашли, что (разность между соседними членами последовательности уменьшается с увеличением их номера
).
Запишем это условие в виде
;
и в общем виде:
.
Здесь , отсюда
;
Тогда
- то есть
;
Мы получим систему:
Исключим из этой системы , оставив
и
в качестве переменных.
Для этого умножим первое неравенство системы на 8-k, а второе на k-1 и сложим их. Получим:
По условию, . Тогда
.
Их сумма . Это оценка.
Приведём пример. Последовательность
1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1 удовлетворяет условию.
Ответ:
а) Да, может. Пример: 6, 10, 13, 15, 16
б) Да, может. Пример: 6, 10, 13, 13, 10
в) Максимальная сумма: 36. Пример: последовательность 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1