Решение. Задание 19, Вариант 1

Условие задачи

Последовательность $a_1,\ a_2,...,a_n \ (n\geq 3)$ состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 60.

б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 8?

Решение

По условию, $a_{k}> \displaystyle \frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}.$

Вспомним, что для арифметической прогрессии

$a_{k}= \displaystyle \frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2};$

для нашей последовательности:
$a_{k-1}+a_{k+1}<2a_{k}=>a_{k+1}-a_{k}<a_{k}-a_{k-1}.$

Что это означает? Что чем дальше, тем меньше члены последовательности отличаются друг от друга. Разность между соседними членами последовательности уменьшается с ростом их номера k.

И если $d_{k}=a_{k+1}-a_{k}$ , то $d_{k}<d_{k-1}<d_{k-2}$ ...
Например, $d_{5}<d_{4}<d_{3}<d_{2}<d_{1}$ .

а) Последовательность 6, 10, 13, 15, 16 удовлетворяет условию.

б) Если разности между соседними членами последовательности уменьшаются, может ли такая разность стать равной нулю? Это будет означать, что в последовательности есть одинаковые члены.
Последовательность 6, 10, 13, 13, 10 удовлетворяет условию.
Разность между соседними ее членами уменьшается до нуля, а затем становится отрицательной.

в) Найдем $S_{min}$ , если $n=8$ .

Мы нашли, что $d_{7}<d_{6}<...<d_{1}$ (разность между соседними членами последовательности уменьшается с увеличением их номера $k$ ).

Запишем это условие в виде
$d_{7}\leq d_{6}-1\leq d_{5}-2\leq ...\leq d_{1}-6$ ;

и в общем виде:
$d_{k}\leq d_{k-1}-1\leq d_{k-2}-2...\leq d_{1}-k+1$ .

Здесь $d_{k}=a_{k+1}-a_{k}$ , отсюда

$d_{k-1}\geq d_{k}+1;\ d_{k-2}\geq d_{k}+2...;\ d_{1}\geq d_{k}+k-1.$

Тогда

$a_{1}=a_{k}-d_{k-1}-d_{k-2}-...-d_{1}\leq a_{k}-(d_{k}+1)-(d_{k}+2)...- -(d_{k}-k+1).$

То есть

$a_{1}\leq a_{k}-(k-1)d_k-\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}$ ;

$a_{8}=a_{k}+d_{k}+d_{k+1}+ ...+d_{7}\leq$

$\leq a_{k}+d_{k}+(d_{k}-1)+(d_{k}-2)+...+(d_{k}-7+k);$

$a_{8}\leq a_{k}+(8-k)d_k- \displaystyle \frac {(7-k)(8-k)}{2}.$

Мы получим систему:

$\left\{\begin{matrix}a_k-(k-1)d_k-\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}\geq 1 \\\\a_k+(8-k)d_k-\displaystyle \frac{(7-k)(8-k)}{2}\geq 1\end{matrix}\right. .$

Исключим из этой системы $d_k$ , оставив $a_{k}$ и $k$ в качестве переменных.
Для этого умножим первое неравенство системы на 8-k, а второе на k-1 и сложим их. Получим:

$7a_k-\displaystyle \frac{7(k-1)(8-k)}{2}\geq 7;$

$a_k\geq \displaystyle \frac{(k-1)(8-k)}{2}+1.$

По условию, $2\leq k \leq 7$ .

Тогда $a_{1} \geq 1; \ a_{2} \geq 4;\ a_{3} \geq 6;\ a_{4} \geq 7;\ a_{5} \geq 7;\ a_{6} \geq 6;\ a_{7} \geq 4;\ a_{8} \geq 1$ .
Их сумма $S\geq 36$ . Это оценка.
Приведём пример.
Последовательность 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1 удовлетворяет условию.

Ответ:

а) Да, может. Пример: 6, 10, 13, 15, 16.
б) Да, может. Пример: 6, 10, 13, 13, 10.
в) Максимальная сумма: 36. Пример: последовательность 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1.

Решение. Задание 19, Вариант 1

Это полезно