Решение. Задание 19, Вариант 1

Условие задачи

Последовательность $a_1,\ a_2,...,a_n \ (n\geq 3)$ состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 60.

б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 8?По условию, $a_{k}> \displaystyle \frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2};$

Решение

Вспомним, что для арифметической прогрессии
$a_{k}= \displaystyle \frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2};$

для нашей последовательности:
$a_{k-1}+a_{k+1}<2a_{k}=>a_{k+1}-a_{k}<a_{k}-a_{k-1}$

Что это означает? Что чем дальше, тем меньше члены последовательности отличаются друг от друга. Разность между соседними членами последовательности уменьшается с ростом их номера k.

И если $d_{k}=a_{k+1}-a_{k}$ , то $d_{k}<d_{k-1}<d_{k-2}$ ...
Например, $d_{5}<d_{4}<d_{3}<d_{2}<d_{1}$ .

а) Последовательность 6, 10, 13, 15, 16 удовлетворяет условию.

б) Если разности между соседними членами последовательности уменьшаются, может ли такая разность стать равной нулю? Это будет означать, что в последовательности есть одинаковые члены.
Последовательность 6, 10, 13, 13, 10 удовлетворяет условию.
Разность между соседними ее членами уменьшается до нуля, а затем становится отрицательной.

в) Найдем $S_{min}$ , если $n=8$ .

Мы нашли, что $d_{7}<d_{6}<...<d_{1}$ (разность между соседними членами последовательности уменьшается с увеличением их номера $k$ ).

Запишем это условие в виде
$d_{7}\leq d_{6}-1\leq d_{5}-2\leq ...\leq d_{1}-6$ ;

и в общем виде:
$d_{k}\leq d_{k-1}-1\leq d_{k-2}-2...\leq d_{1}-k+1$ .

Здесь $d_{k}=a_{k+1}-a_{k}$ , отсюда

$d_{k-1}\geq d_{k}+1;\ d_{k-2}\geq d_{k}+2...;\ d_{1}\geq d_{k}+k-1$ ;

Тогда

$a_{1}=a_{k}-d_{k-1}-d_{k-2}-...-d_{1}\leq a_{k}-(d_{k}+1)-(d_{k}+2)...- -(d_{k}-k+1);$

- то есть

$a_{1}\leq a_{k}-(k-1)d_k-\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}$ ;

$a_{8}=a_{k}+d_{k}+d_{k+1}+ ...+d_{7}\leq$

$\leq a_{k}+d_{k}+(d_{k}-1)+(d_{k}-2)+...+(d_{k}-7+k).$

$a_{8}\leq a_{k}+(8-k)d_k- \displaystyle \frac {(7-k)(8-k)}{2}$

Мы получим систему:

$\left\{\begin{matrix}a_k-(k-1)d_k-\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}\geq 1 \\\\a_k+(8-k)d_k-\displaystyle \frac{(7-k)(8-k)}{2}\geq 1\end{matrix}\right.$

Исключим из этой системы $d_k$ , оставив $a_{k}$ и $k$ в качестве переменных.
Для этого умножим первое неравенство системы на 8-k, а второе на k-1 и сложим их. Получим:

$7a_k-\displaystyle \frac{7(k-1)(8-k)}{2}\geq 7;$

$a_k\geq \displaystyle \frac{(k-1)(8-k)}{2}+1.$

По условию, $2\leq k \leq 7$ . Тогда

$a_{1} \geq 1; \ a_{2} \geq 4;\ a_{3} \geq 6;\ a_{4} \geq 7;\ a_{5} \geq 7;\ a_{6} \geq 6;\ a_{7} \geq 4;\ a_{8} \geq 1$ .
Их сумма $S\geq 36$ . Это оценка.
Приведём пример. Последовательность
1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1 удовлетворяет условию.

Ответ:

а) Да, может. Пример: 6, 10, 13, 15, 16
б) Да, может. Пример: 6, 10, 13, 13, 10
в) Максимальная сумма: 36. Пример: последовательность 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

Уравнения (задача 13)

Стереометрия (задача 14)

Неравенства (задача 15)

Геометрия (задача 16)

Финансовая математика (задача 17)

Параметры (задача 18)

Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Как пользоваться?

Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.

Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.

Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!

Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.

Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.