Условие задачи
Последовательность \(a_1,\ a_2,...,a_n \ (n\geq 3)\) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 60.
б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при \(n=8\)?
Решение
По условию, \(a_{k}> \displaystyle \frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}.\)
Вспомним, что для арифметической прогрессии \(a_{k}= \displaystyle \frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}.\)
Для нашей последовательности: \(a_{k-1}+a_{k+1}<2a_{k}\Rightarrow a_{k+1}-a_{k}<a_{k}-a_{k-1}.\)
Что это означает? Что чем дальше, тем меньше члены последовательности отличаются друг от друга. Разность между соседними членами последовательности уменьшается с ростом их номера \(k.\)
И если \(d_{k}=a_{k+1}-a_{k}\), то \(d_{k}<d_{k-1}<d_{k-2}...\)
Например, \(d_{5}<d_{4}<d_{3}<d_{2}<d_{1}.\)
а) Последовательность 6, 10, 13, 15, 16 удовлетворяет условию.
б) Если разности между соседними членами последовательности уменьшаются, может ли такая разность стать равной нулю? Это будет означать, что в последовательности есть одинаковые члены.
Последовательность 6, 10, 13, 13, 10 удовлетворяет условию.
Разность между соседними ее членами уменьшается до нуля, а затем становится отрицательной.
в) Найдем \(S_{min}\), если \(n=8.\)
Мы нашли, что \(d_{7}<d_{6}<...<d_{1}\) (разность между соседними членами последовательности уменьшается с увеличением их номера \(k\)).
Запишем это условие в виде \(d_{7}\leq d_{6}-1\leq d_{5}-2\leq ...\leq d_{1}-6;\)
и в общем виде: \(d_{k}\leq d_{k-1}-1\leq d_{k-2}-2 ...\leq d_{1}-k+1.\)
Здесь \(d_{k}=a_{k+1}-a_{k}\), отсюда \(d_{k-1}\geq d_{k}+1;\ d_{k-2}\geq d_{k}+2...; \ d_{1}\geq d_{k}+k-1.\)
Тогда \(a_{1}=a_{k}-d_{k-1}-d_{k-2}-...-d_{1}\leq a_{k}-(d_{k}+1)-(d_{k}+2)...-(d_{k}-k+1).\)
То есть \(a_{1}\leq a_{k}-(k-1)d_k-\displaystyle \frac{k(k-1)}{2};\)
\(a_{8}=a_{k}+d_{k}+d_{k+1}+ ...+d_{7}\leq a_{k}+d_{k}+(d_{k}-1)+(d_{k}-2)+...+(d_{k}-7+k);\)
\(a_{8}\leq a_{k}+(8-k)d_k- \displaystyle \frac {(7-k)(8-k)}{2}.\)
Мы получим систему: \(\left\{\begin{matrix}
a_k-(k-1)d_k-\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}\geq 1 ,\\
a_k+(8-k)d_k-\displaystyle \frac{(7-k)(8-k)}{2}\geq 1.
\end{matrix}\right. \)
Исключим из этой системы \(d_k\), оставив \(a_{k}\) и \(k\) в качестве переменных.
Для этого умножим первое неравенство системы на \(8-k\), а второе на \(k-1\) и сложим их. Получим:
\(7a_k-\displaystyle \frac{7(k-1)(8-k)}{2}\geq 7;\)
\(a_k\geq \displaystyle \frac{(k-1)(8-k)}{2}+1.\)
По условию, \(2\leq k \leq 7. \)
Тогда \(a_{1} \geq 1; \ a_{2} \geq 4;\ a_{3} \geq 6;\ a_{4} \geq 7;\ a_{5} \geq 7;\ a_{6} \geq 6;\ a_{7} \geq 4;\ a_{8} \geq 1\).
Их сумма \(S\geq 36\). Это оценка.
Приведём пример.
Последовательность 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1 удовлетворяет условию.
Ответ:
а) Да, может. Пример: 6, 10, 13, 15, 16.
б) Да, может. Пример: 6, 10, 13, 13, 10.
в) Максимальная сумма: 36. Пример: последовательность 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1.
