Условие задачи
Решите уравнение: \(sin\displaystyle\frac{\pi (x+9)}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\) В ответе напишите наименьший положительный корень.
Решение
\(sin\displaystyle \frac{\pi (x+9)}{4}=-\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}.\)
Обозначим \(\displaystyle \frac{\pi (x+9)}{4}=t.\)
Уравнение \(sint=-\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\) имеет 2 серии решений:
\(t=-\displaystyle \frac{\pi }{4}+2\pi n, \; n\in Z\) или \(t=\displaystyle \frac{-3\pi }{4}+2\pi n.\)
Вернемся к переменной \(x\):
\(\displaystyle\frac{\pi (x+9)}{4}=-\displaystyle\frac{\pi }{4}+2\pi n, \; n\in Z\) или \(\displaystyle\frac{\pi (x+9)}{4}=-\displaystyle\frac{3\pi }{4}+2\pi n;\)
\(x=-10+8n, \; n\in Z\) или \(x=-12+8n.\)
Выпишем несколько корней из первой серии: \(-10; -2; 6; 14.\)
Несколько корней из второй серии: \(-12; -8; 4; 12.\)
Наименьший положительный корень уравнения равен \(4.\)
Ответ:
4.
