Решение. Задание 8, Вариант 1

Условие задачи

Площадь полной поверхности конуса равна 9, образующая наклонена к основанию под углом 60°. Найти площадь поверхности сферы, вписанной в конус.

Решение

Осевое сечение конуса - правильный треугольник.
Если R - радиус основания, L - образующая, то L=2R.
Площадь полной поверхности конуса
$S$ полн $=\pi R^2+\pi RL=\pi R^2+2\pi R^2=3\pi R^2=9,$
тогда $R=\sqrt{\displaystyle \frac{3}{\pi }}$ и $L=2\cdot \sqrt{\displaystyle \frac{3}{\pi }}.$
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $L=2\cdot \sqrt{\displaystyle \frac{3}{\pi }}$ , равен $L\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\pi }},$ а площадь сферы с таким радиусом равна $4\pi r^2=4.$

Ответ:

Решение. Задание 8, Вариант 1

Это полезно