previous arrow
next arrow
Slider
Центр подготовки к ЕГЭ > ru > ege > Подготовка > Математика > probnyj-ege > 2018 > fevral > Решение. Задание 8, Вариант 1

Решение. Задание 8, Вариант 1

Условие задачи

Площадь полной поверхности конуса равна 9, образующая наклонена к основанию под углом 60°. Найти площадь поверхности сферы, вписанной в конус.

Решение

Осевое сечение конуса - правильный треугольник.
Если R - радиус основания, L - образующая, то L=2R.
Площадь полной поверхности конуса
Sполн   =\pi R^2+\pi RL=\pi R^2+2\pi R^2=3\pi R^2=9,
тогда R=\sqrt{\displaystyle \frac{3}{\pi }}  и   L=2\cdot \sqrt{\displaystyle \frac{3}{\pi }}.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной L=2\cdot \sqrt{\displaystyle \frac{3}{\pi }} , равен L\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\pi }}, а площадь сферы с таким радиусом равна 4\pi r^2=4.

Ответ:

4.