previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 1. Задание 13. Решение

Условие задачи

а) Решить уравнение 2 cos^2x+5 sinx=5
б) найти корни, принадлежащие отрезку \displaystyle [-\frac{\pi}{2};2\pi]

Решение

2 cos^2x+5 sinx=5

а) Согласно основному тригонометрическому тождеству, cos^2x+sin^2x=1. Выразим cos^2x.

2(1-sin^2x )+5 sinx=5

2-2 sin^2x+5 sinx-5=0

-2 sin^2x+5 sinx-3=0

2 sin^2x-5 sinx+3=0

Сделаем замену sinx=t,|t|\leq1

2t^2-5t+3=0

D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 3=25-24=1,\sqrt D=1

\left[ \begin{gathered} t_1=1\\ t_2 = \frac{3}{2} \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} sin \,x =1 \\ sin \,x = \frac{3}{2} \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow sin \, x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, \, n\in Z

Очевидно, что уравнение \displaystyle sinx=\frac{3}{2} не имеет решений.

б) Найдем корни уравнения на отрезке [\displaystyle -\frac {\pi}{2};2\pi] с помощью двойного неравенства.

\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2}+2\pi n\leq2\pi

Разделим обе части неравенства на \pi.

\displaystyle -\frac{1}{2} \leq \frac{1}{2}+2n\leq2

Вычтем \displaystyle \frac{1}{2} из обеих частей неравенства.

-1 \leq 2n\leq1,5

Разделим на 2 обе части неравенства:

-0,5 \leq n\leq0,75

Единственное целое решение – это n=0. Тогда \displaystyle x= \frac{\pi}{2} — это единственный корень, который принадлежит отрезку \displaystyle [-\frac{\pi}{2};2\pi].

Ответ

а) \displaystyle  x = \frac{\pi}{2} +2 \pi n, \, n \in Z

б) \displaystyle \frac{\pi}{2}.