Тренинги по решению вариантов ЕГЭ - 2020. Вариант 1. Задание 13. Решение

Условие задачи

а) Решить уравнение $2 cos^2x+5 sinx=5$
б) найти корни, принадлежащие отрезку $\displaystyle [-\frac{\pi}{2};2\pi]$

Решение

$2 cos^2x+5 sinx=5$

а) Согласно основному тригонометрическому тождеству, $cos^2x+sin^2x=1.$ Выразим $cos^2x.$

$2(1-sin^2x )+5 sinx=5$

$2-2 sin^2x+5 sinx-5=0$

$-2 sin^2x+5 sinx-3=0$

$2 sin^2x-5 sinx+3=0$

Сделаем замену $sinx=t,|t|\leq1$

$2t^2-5t+3=0$

$D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 3=25-24=1,\sqrt D=1$

$\left[ \begin{gathered} t_1=1\\ t_2 = \frac{3}{2} \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} sin \,x =1 \\ sin \,x = \frac{3}{2} \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow sin \, x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, \, n\in Z$

Очевидно, что уравнение $\displaystyle sinx=\frac{3}{2}$ не имеет решений.

б) Найдем корни уравнения на отрезке $[\displaystyle -\frac {\pi}{2};2\pi]$ с помощью двойного неравенства.

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2}+2\pi n\leq2\pi$

Разделим обе части неравенства на $\pi.$

$\displaystyle -\frac{1}{2} \leq \frac{1}{2}+2n\leq2$

Вычтем $\displaystyle \frac{1}{2}$ из обеих частей неравенства.

$-1 \leq 2n\leq1,5$

Разделим на 2 обе части неравенства:

$-0,5 \leq n\leq0,75$

Единственное целое решение – это n=0. Тогда $\displaystyle x= \frac{\pi}{2}$ — это единственный корень, который принадлежит отрезку $\displaystyle [-\frac{\pi}{2};2\pi].$

Ответ

а) $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} +2 \pi n, \, n \in Z$

б) $\displaystyle \frac{\pi}{2}.$

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 1. Задание 13. Решение

Это полезно