previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 1. Задание 13. Решение

Условие задачи

а) Решить уравнение \(2 cos^2x+5 sinx=5\)
б) найти корни, принадлежащие отрезку \(\displaystyle [-\frac{\pi}{2};2\pi]\)

Решение

\(2 cos^2x+5 sinx=5\)

а) Согласно основному тригонометрическому тождеству, \(cos^2x+sin^2x=1. \) Выразим \(cos^2x.\)

\(2(1-sin^2x )+5 sinx=5\)

\(2-2 sin^2x+5 sinx-5=0\)

\(-2 sin^2x+5 sinx-3=0\)

\(2 sin^2x-5 sinx+3=0\)

Сделаем замену \(sinx=t,|t|\leq1\)

\(2t^2-5t+3=0\)

\(D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 3=25-24=1,\sqrt D=1\)

\(\left[ \begin{gathered} t_1=1\\ t_2 = \frac{3}{2} \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} sin \,x =1 \\ sin \,x = \frac{3}{2} \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow sin \, x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, \, n\in Z\)

Очевидно, что уравнение \(\displaystyle sinx=\frac{3}{2}\) не имеет решений.

б) Найдем корни уравнения на отрезке \( [\displaystyle -\frac {\pi}{2};2\pi] \) с помощью двойного неравенства.

\(\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2}+2\pi n\leq2\pi\)

Разделим обе части неравенства на \(\pi.\)

\(\displaystyle -\frac{1}{2} \leq \frac{1}{2}+2n\leq2\)

Вычтем \(\displaystyle \frac{1}{2}\) из обеих частей неравенства.

\(-1 \leq 2n\leq1,5\)

Разделим на 2 обе части неравенства:

\(-0,5 \leq n\leq0,75\)

Единственное целое решение – это n=0. Тогда \(\displaystyle x= \frac{\pi}{2}\) — это единственный корень, который принадлежит отрезку \(\displaystyle [-\frac{\pi}{2};2\pi].\)

Ответ

а) \(\displaystyle x = \frac{\pi}{2} +2 \pi n, \, n \in Z\)

б) \(\displaystyle \frac{\pi}{2}.\)