Условие задачи
а) Решить уравнение \(2 cos^2x+5 sinx=5\)
б) найти корни, принадлежащие отрезку \(\displaystyle [-\frac{\pi}{2};2\pi]\)
Решение
\(2 cos^2x+5 sinx=5\)
а) Согласно основному тригонометрическому тождеству, \(cos^2x+sin^2x=1. \) Выразим \(cos^2x.\)
\(2(1-sin^2x )+5 sinx=5\)
\(2-2 sin^2x+5 sinx-5=0\)
\(-2 sin^2x+5 sinx-3=0\)
\(2 sin^2x-5 sinx+3=0\)
Сделаем замену \(sinx=t,|t|\leq1\)
\(2t^2-5t+3=0\)
\(D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 3=25-24=1,\sqrt D=1\)
\(\left[ \begin{gathered} t_1=1\\ t_2 = \frac{3}{2} \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} sin \,x =1 \\ sin \,x = \frac{3}{2} \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow sin \, x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, \, n\in Z\)
Очевидно, что уравнение \(\displaystyle sinx=\frac{3}{2}\) не имеет решений.
б) Найдем корни уравнения на отрезке \( [\displaystyle -\frac {\pi}{2};2\pi] \) с помощью двойного неравенства.
\(\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2}+2\pi n\leq2\pi\)
Разделим обе части неравенства на \(\pi.\)
\(\displaystyle -\frac{1}{2} \leq \frac{1}{2}+2n\leq2\)
Вычтем \(\displaystyle \frac{1}{2}\) из обеих частей неравенства.
\(-1 \leq 2n\leq1,5\)
Разделим на 2 обе части неравенства:
\(-0,5 \leq n\leq0,75\)
Единственное целое решение – это n=0. Тогда \(\displaystyle x= \frac{\pi}{2}\) — это единственный корень, который принадлежит отрезку \(\displaystyle [-\frac{\pi}{2};2\pi].\)
Ответ
а) \(\displaystyle x = \frac{\pi}{2} +2 \pi n, \, n \in Z\)
б) \(\displaystyle \frac{\pi}{2}.\)
