previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 1. Задание 14. Решение

 

Условие задачи

Анна Малкова.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ = 12, высота SO = 15, точка М лежит на отрезке АС, АМ : МС = 7 : 5.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно прямой АС.
б) Найдите площадь сечения.

 

Решение

а) BD \perp AC (как диагонали квадрата в основании). В плоскости ABC проведём EF \parallel BD, \, M \in EF.

Тогда EF \perp AC.

SO — высота пирамиды.

SO \perp AC, т.к. SO \perp (ABC).

В плоскости ASC проведём MK \parallel SO; тогда MK \perp AC. Мы получим, что (EFK) \perp AC, \, M \in (EFK);

Треугольник EFK — искомое сечение.

б) Найдём S_{\triangle EFK}

Докажем, что \triangle EFK \sim \triangle DBS.

В треугольниках SOC и KMC, которые подобны по двум углам, \displaystyle \frac{KM}{SO}=\frac{MC}{OC}=\frac{5}{6}

Треугольники SOB и KMF также подобны по двум углам, \displaystyle KM:SO=\frac{5}{6}, тогда KF:SB=5:6.

Получим, что \displaystyle \triangle EFK \sim \triangle DBS, k=\frac{5}{6}

Тогда \displaystyle S_{\triangle EFK}=k^2 \cdot S_{\triangle DBS} = \frac{25}{36} \cdot S_{\triangle DBS}

BD = AB\sqrt{2}=12 \sqrt{2};

SO = 15;

S_{\triangle DBS} = 12 \sqrt{2} \cdot 15;

\displaystyle S_{\triangle EFK} = \frac{25}{36} \cdot 12 \sqrt{2} \cdot 15 = \frac{125 \sqrt{2}}{2}

 

Ответ

\displaystyle \frac {125 \sqrt{2}}{2}