Условие задачи
Анна Малкова.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ = 12, высота SO = 15, точка М лежит на отрезке АС, АМ : МС = 7 : 5.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно прямой АС.
б) Найдите площадь сечения.
Решение
а) \(BD \perp AC\) (как диагонали квадрата в основании). В плоскости ABC проведём \(EF \parallel BD, \, M \in EF.\)
Тогда \(EF \perp AC.\)
SO — высота пирамиды.
\(SO \perp AC\), т.к. \(SO \perp (ABC).\)
В плоскости ASC проведём \(MK \parallel SO\); тогда \(MK \perp AC\). Мы получим, что \((EFK) \perp AC, \, M \in (EFK);\)
Треугольник EFK — искомое сечение.
б) Найдём \(S_{\triangle EFK}\)
Докажем, что \(\triangle EFK \sim \triangle DBS.\)
В треугольниках SOC и KMC, которые подобны по двум углам, \(\displaystyle \frac{KM}{SO}=\frac{MC}{OC}=\frac{5}{6}\)
Треугольники SOB и KMF также подобны по двум углам, \(\displaystyle KM:SO=\frac{5}{6}\), тогда KF:SB=5:6.
Получим, что \(\displaystyle \triangle EFK \sim \triangle DBS, k=\frac{5}{6}\)
Тогда \(\displaystyle S_{\triangle EFK}=k^2 \cdot S_{\triangle DBS} = \frac{25}{36} \cdot S_{\triangle DBS}\)
\(BD = AB\sqrt{2}=12 \sqrt{2};\)
\(SO = 15;\)
\(S_{\triangle DBS} = 12 \sqrt{2} \cdot 15;\)
\(\displaystyle S_{\triangle EFK} = \frac{25}{36} \cdot 12 \sqrt{2} \cdot 15 = \frac{125 \sqrt{2}}{2}\)
Ответ
\(\displaystyle \frac {125 \sqrt{2}}{2}\)
