previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 1. Задание 14. Решение

 

Условие задачи

Анна Малкова.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ = 12, высота SO = 15, точка М лежит на отрезке АС, АМ : МС = 7 : 5.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно прямой АС.
б) Найдите площадь сечения.

 

Решение

а) \(BD \perp AC\) (как диагонали квадрата в основании). В плоскости ABC проведём \(EF \parallel BD, \, M \in EF.\)

Тогда \(EF \perp AC.\)

SO — высота пирамиды.

\(SO \perp AC\), т.к. \(SO \perp (ABC).\)

В плоскости ASC проведём \(MK \parallel SO\); тогда \(MK \perp AC\). Мы получим, что \((EFK) \perp AC, \, M \in (EFK);\)

Треугольник EFK — искомое сечение.

б) Найдём \(S_{\triangle EFK}\)

Докажем, что \(\triangle EFK \sim \triangle DBS.\)

В треугольниках SOC и KMC, которые подобны по двум углам, \(\displaystyle \frac{KM}{SO}=\frac{MC}{OC}=\frac{5}{6}\)

Треугольники SOB и KMF также подобны по двум углам, \(\displaystyle KM:SO=\frac{5}{6}\), тогда KF:SB=5:6.

Получим, что \(\displaystyle \triangle EFK \sim \triangle DBS, k=\frac{5}{6}\)

Тогда \(\displaystyle S_{\triangle EFK}=k^2 \cdot S_{\triangle DBS} = \frac{25}{36} \cdot S_{\triangle DBS}\)

\(BD = AB\sqrt{2}=12 \sqrt{2};\)

\(SO = 15;\)

\(S_{\triangle DBS} = 12 \sqrt{2} \cdot 15;\)

\(\displaystyle S_{\triangle EFK} = \frac{25}{36} \cdot 12 \sqrt{2} \cdot 15 = \frac{125 \sqrt{2}}{2}\)

 

Ответ

\(\displaystyle \frac {125 \sqrt{2}}{2}\)