Условие задачи
Решите неравенство \(\displaystyle \frac{x^2-3x-5}{x-4}+\frac{3x^2-15x+2}{x-5} \leq 4x+1\)
Решение
\(\displaystyle \frac{x^2-4x+x-5}{x-4}+\frac{3x^2-15x}{x-5} + \frac {2}{x-5} \leq4x+1\)
Прежде чем приводить левую часть неравенства к одному знаменателю, упростим ее. Разложим первую дробь на сумму двух дробей.
\(\displaystyle \frac{x^2-4x}{x-4}+\frac{x-5}{x-4}+\frac{3x^2-15x}{x-5}+\frac{2}{x-5} \leq4x+1\)
При \(x \ne 4\) получим: \(\displaystyle \frac{x^2-4x}{x-4}=x,\) а при \(x\ne5\) получим: \(\displaystyle \frac{3x^2-15x}{x-5}=3x.\)
Неравенство примет вид:
\(\displaystyle x+\frac{x-5}{x-4}+3x+\frac{2}{x-5} \leq4x+1\)
\(\displaystyle \frac{x-5}{x-4} + \frac{2}{x-5} \leq1\)
И еще больше упростим это неравенство, разложив дробь \(\displaystyle \frac{x-5}{x-4}\) на сумму двух дробей:
\(\displaystyle \frac{x-4-1}{x-4}+\frac{2}{x-5}\leq1\)
\(\displaystyle \frac{x-4}{x-4}-\frac{1}{x-4}+ \frac{2}{x-5}\leq1\)
\(\displaystyle \frac{2}{x-5} - \frac{1}{x-4}\leq0\)
Теперь можно привести обе части к одному знаменателю и решить неравенство методом интервалов.
\(\displaystyle \frac{2(x-4)-(x-5)}{(x-5)(x-4)} \leq0\)
\(\displaystyle \frac{2x-8-x+5}{(x-5)(x-4)} \leq0\)
\(\displaystyle \frac{x-3}{(x-5)(x-4)} \leq0\)
Ответ
\((-\infty; 3]\cup(4;5)\)
