previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 1. Задание 15. Решение

Условие задачи

Решите неравенство \displaystyle \frac{x^2-3x-5}{x-4}+\frac{3x^2-15x+2}{x-5} \leq 4x+1

Решение

\displaystyle \frac{x^2-4x+x-5}{x-4}+\frac{3x^2-15x}{x-5} + \frac {2}{x-5} \leq4x+1

Прежде чем приводить левую часть неравенства к одному знаменателю, упростим ее. Разложим первую дробь на сумму двух дробей.

\displaystyle \frac{x^2-4x}{x-4}+\frac{x-5}{x-4}+\frac{3x^2-15x}{x-5}+\frac{2}{x-5} \leq4x+1

При x \ne 4 получим: \displaystyle \frac{x^2-4x}{x-4}=x, а при x\ne5 получим: \displaystyle \frac{3x^2-15x}{x-5}=3x.

Неравенство примет вид:

\displaystyle x+\frac{x-5}{x-4}+3x+\frac{2}{x-5} \leq4x+1

\displaystyle \frac{x-5}{x-4} + \frac{2}{x-5} \leq1

И еще больше упростим это неравенство, разложив дробь \displaystyle \frac{x-5}{x-4} на сумму двух дробей:

\displaystyle \frac{x-4-1}{x-4}+\frac{2}{x-5}\leq1

\displaystyle \frac{x-4}{x-4}-\frac{1}{x-4}+ \frac{2}{x-5}\leq1

\displaystyle \frac{2}{x-5} - \frac{1}{x-4}\leq0

Теперь можно привести обе части к одному знаменателю и решить неравенство методом интервалов.

\displaystyle \frac{2(x-4)-(x-5)}{(x-5)(x-4)} \leq0

\displaystyle \frac{2x-8-x+5}{(x-5)(x-4)} \leq0

\displaystyle \frac{x-3}{(x-5)(x-4)} \leq0

Ответ

(-\infty; 3]\cup(4;5)