previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 1. Задание 16. Решение

 

Условие задачи

Татьяна Щетинина.

В параллелограмме ABCD угол А равен \(60^\circ, \, AB=6, \, AD=10.\) На лучах AD и СD отмечены точки М и К соответственно, причём СМ=СD и АК=АD.
а) Докажите, что точки А, В, С, М и К лежат на одной окружности
б) Найдите площадь треугольника КМВ

 

Решение

(один из способов)

а) Докажем, что точки A, B, C, M, K лежат на одной окружности.

Рассмотрим четырёхугольник ABCM. Это равнобедренная трапеция (так как CM=CD=AB).

\(\angle CMD = 60^\circ; \, \angle ABC=180^\circ - \angle BAM =120^\circ\)

(\(\angle ABC\) и \(\angle BAM\) — односторонние)

\(\angle CMA + \angle ABC = 180^\circ,\)

точки A, B, C и M лежат на одной окружности.

Аналогично, BAKC — равнобедренная трапеция, точки A, B, C, K лежат на одной окружности.

Значит, все 5 точек: A, B, C, M, K лежат на одной окружности.

 

б)


В равнобедренном треугольнике \(KAD: \angle KAD=60^\circ .\)
\(\angle KAM = \angle KBM = 60^\circ\) - как вписанные углы, опирающиеся на хорду КМ.

По теореме косинусов для треугольника КАВ:

\(KB^2= AK^2+AB^2-2 AK \cdot AB cos \angle KAB\)

\(KB^2=100+36+60=196, KB=14\)

\(\triangle BMC=\triangle BKA\) по двум сторонам и углу между ними.
Значит, треугольник КМВ равносторонний со стороной 14.

Его площадь равна \(\displaystyle \frac{14\cdot 14\sqrt3}{4}=49\sqrt3.\)

 

Ответ

\(49\sqrt3.\)