Условие задачи
Татьяна Щетинина.
В параллелограмме ABCD угол А равен \(60^\circ, \, AB=6, \, AD=10.\) На лучах AD и СD отмечены точки М и К соответственно, причём СМ=СD и АК=АD.
а) Докажите, что точки А, В, С, М и К лежат на одной окружности
б) Найдите площадь треугольника КМВ
Решение
(один из способов)
а) Докажем, что точки A, B, C, M, K лежат на одной окружности.
Рассмотрим четырёхугольник ABCM. Это равнобедренная трапеция (так как CM=CD=AB).
\(\angle CMD = 60^\circ; \, \angle ABC=180^\circ - \angle BAM =120^\circ\)
(\(\angle ABC\) и \(\angle BAM\) — односторонние)
\(\angle CMA + \angle ABC = 180^\circ,\)
точки A, B, C и M лежат на одной окружности.
Аналогично, BAKC — равнобедренная трапеция, точки A, B, C, K лежат на одной окружности.
Значит, все 5 точек: A, B, C, M, K лежат на одной окружности.
б)
В равнобедренном треугольнике \(KAD: \angle KAD=60^\circ .\)
\(\angle KAM = \angle KBM = 60^\circ\) - как вписанные углы, опирающиеся на хорду КМ.
По теореме косинусов для треугольника КАВ:
\(KB^2= AK^2+AB^2-2 AK \cdot AB cos \angle KAB\)
\(KB^2=100+36+60=196, KB=14\)
\(\triangle BMC=\triangle BKA\) по двум сторонам и углу между ними.
Значит, треугольник КМВ равносторонний со стороной 14.
Его площадь равна \(\displaystyle \frac{14\cdot 14\sqrt3}{4}=49\sqrt3.\)
Ответ
\(49\sqrt3.\)
