previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 1. Задание 16. Решение

 

Условие задачи

Татьяна Щетинина.

В параллелограмме ABCD угол А равен 60^\circ, \, AB=6, \, AD=10. На лучах AD и СD отмечены точки М и К соответственно, причём СМ=СD и АК=АD.
а) Докажите, что точки А, В, С, М и К лежат на одной окружности
б) Найдите площадь треугольника КМВ

 

Решение

(один из способов)

а) Докажем, что точки A, B, C, M, K лежат на одной окружности.

Рассмотрим четырёхугольник ABCM. Это равнобедренная трапеция (так как CM=CD=AB).

\angle CMD = 60^\circ; \, \angle ABC=180^\circ - \angle BAM =120^\circ

(\angle ABC и \angle BAM — односторонние)

\angle CMA + \angle ABC = 180^\circ,

точки A, B, C и M лежат на одной окружности.

Аналогично, BAKC — равнобедренная трапеция, точки A, B, C, K лежат на одной окружности.

Значит, все 5 точек: A, B, C, M, K лежат на одной окружности.

 

б)


В равнобедренном треугольнике KAD: \angle KAD=60^\circ .
\angle KAM = \angle KBM = 60^\circ - как вписанные углы, опирающиеся на хорду КМ.

По теореме косинусов для треугольника КАВ:

KB^2= AK^2+AB^2-2 AK \cdot AB cos \angle KAB

KB^2=100+36+60=196, KB=14

\triangle BMC=\triangle BKA по двум сторонам и углу между ними.
Значит, треугольник КМВ равносторонний со стороной 14.

Его площадь равна \displaystyle \frac{14\cdot 14\sqrt3}{4}=49\sqrt3.

 

Ответ

49\sqrt3.