Тренинги по решению вариантов ЕГЭ - 2020. Вариант 1. Задание 16. Решение

Условие задачи

Татьяна Щетинина.

В параллелограмме ABCD угол А равен $60^\circ, \, AB=6, \, AD=10.$ На лучах AD и СD отмечены точки М и К соответственно, причём СМ=СD и АК=АD.
а) Докажите, что точки А, В, С, М и К лежат на одной окружности
б) Найдите площадь треугольника КМВ

Решение

(один из способов)

а) Докажем, что точки A, B, C, M, K лежат на одной окружности.

Рассмотрим четырёхугольник ABCM. Это равнобедренная трапеция (так как CM=CD=AB).

$\angle CMD = 60^\circ; \, \angle ABC=180^\circ - \angle BAM =120^\circ$

( $\angle ABC$ и $\angle BAM$ — односторонние)

$\angle CMA + \angle ABC = 180^\circ,$

точки A, B, C и M лежат на одной окружности.

Аналогично, BAKC — равнобедренная трапеция, точки A, B, C, K лежат на одной окружности.

Значит, все 5 точек: A, B, C, M, K лежат на одной окружности.

б)

В равнобедренном треугольнике $KAD: \angle KAD=60^\circ .$
$\angle KAM = \angle KBM = 60^\circ$ - как вписанные углы, опирающиеся на хорду КМ.

По теореме косинусов для треугольника КАВ:

$KB^2= AK^2+AB^2-2 AK \cdot AB cos \angle KAB$

$KB^2=100+36+60=196, KB=14$

$\triangle BMC=\triangle BKA$ по двум сторонам и углу между ними.
Значит, треугольник КМВ равносторонний со стороной 14.

Его площадь равна $\displaystyle \frac{14\cdot 14\sqrt3}{4}=49\sqrt3.$

Ответ

$49\sqrt3.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ u0026#8212; 2020. Вариант 1. Задание 16. Решение» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 15.03.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 1. Задание 16. Решение

Это полезно