Условие задачи
Программист Егор решил, что не будет копить, а купит квартиру в ипотеку под 25% годовых. Егор рассчитал, что если выплачивать кредит ежегодными платежами, составляющими 738 тысяч рублей, кредит будет полностью выплачен за 3 года. Какими должны быть ежегодные платежи, чтобы Егор смог выплатить ипотечный кредит за 4 года? Ответ дайте в тысячах рублей.
Решение
Пусть S - сумма кредита, \(\displaystyle k = 1,25 = \frac{5}{4}\) — коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов
Напишем схему погашения кредита.
Если Егор выплатит кредит за 3 года ежегодными платежами Х = 738 тысяч рублей, получим:
\(((S\cdot k-X)\cdot k-X)\cdot k-X=0. \)
Раскроем скобки:
\(Sk^3-X(k^2+k+1)=0;\)
\(\displaystyle X=\frac{S\cdot k^3}{k^2+k+1} (1).\) Будем вести расчеты в тысячах рублей.
Если Егор выплатит кредит за 4 года ежегодными платежами Y, получим:
\((((S\cdot k-Y)\cdot k-Y)\cdot k-Y)\cdot k-Y=0.\)
\(Sk^4-Y(k^3+k^2+k+1)=0;\)
\(\displaystyle Y=\frac{S\cdot k^4}{k^3+k^2+k+1}\) (2)
Поделим второе уравнение на первое.
\(\displaystyle \frac{Y}{X} = \frac{k(k^2+k+1)}{(k^2+1)(k+1)}\)
\(\displaystyle \frac{Y}{X} = \frac{k(k^2+k+1)(k-1)}{(k^2+1)(k+1)(k-1)}\)
Применим формулы разности кубов и разности квадратов.
\(\displaystyle \frac{Y}{X} = \frac{k(k^3-1)}{k^4-1}=\frac{5(5^3-4^3)}{(5^4-4^4)} = \frac{5(125-64)}{625-256} = \frac{305}{369}, \)
\(\displaystyle Y = \frac{305}{369} \cdot 738 = 610\)
Ответ
610
