previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 1. Задание 17. Решение

Условие задачи

Программист Егор решил, что не будет копить, а купит квартиру в ипотеку под 25% годовых. Егор рассчитал, что если выплачивать кредит ежегодными платежами, составляющими 738 тысяч рублей, кредит будет полностью выплачен за 3 года. Какими должны быть ежегодные платежи, чтобы Егор смог выплатить ипотечный кредит за 4 года? Ответ дайте в тысячах рублей.

Решение

Пусть S - сумма кредита, \displaystyle k = 1,25 = \frac{5}{4} — коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов

Напишем схему погашения кредита.
Если Егор выплатит кредит за 3 года ежегодными платежами Х = 738 тысяч рублей, получим:
((S\cdot k-X)\cdot k-X)\cdot k-X=0.
Раскроем скобки:

Sk^3-X(k^2+k+1)=0;

\displaystyle X=\frac{S\cdot k^3}{k^2+k+1}  (1). Будем вести расчеты в тысячах рублей.

Если Егор выплатит кредит за 4 года ежегодными платежами Y, получим:

(((S\cdot k-Y)\cdot k-Y)\cdot k-Y)\cdot k-Y=0.

Sk^4-Y(k^3+k^2+k+1)=0;

\displaystyle Y=\frac{S\cdot k^4}{k^3+k^2+k+1} (2)

Поделим второе уравнение на первое.

\displaystyle \frac{Y}{X} = \frac{k(k^2+k+1)}{(k^2+1)(k+1)}

\displaystyle \frac{Y}{X} = \frac{k(k^2+k+1)(k-1)}{(k^2+1)(k+1)(k-1)}

Применим формулы разности кубов и разности квадратов.

\displaystyle \frac{Y}{X} = \frac{k(k^3-1)}{k^4-1}=\frac{5(5^3-4^3)}{(5^4-4^4)} = \frac{5(125-64)}{625-256} = \frac{305}{369},

\displaystyle Y = \frac{305}{369} \cdot 738 = 610

Ответ

610