Условие задачи
При каких значениях параметра а система двух уравнений
\(\left\{\begin{gathered}(a+1)x+8y=4a \\ ax+(a+3)y=3a-1 \end{gathered}\right.\)
имеет бесконечно много решений?
Решение
Выразим переменную y из каждого уравнения. При \(a\ne -3\) получим:
\(\left\{\begin{gathered}y=-\frac{a+1}{8}x+\frac{a}{2} \\ y=-\frac{a}{a+3}x+\frac{3a-1}{a+3} \end{gathered}\right.\)
Эта система двух линейшых уравнений задаёт на плоскости X0Y две прямые; система имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда эти прямые совпадают. Это значит, что
\(\left\{\begin{gathered}\frac{a+1}{8}=\frac{a}{a+3} \\ \frac{a}{2}=\frac{3a-1}{a+3} \end{gathered}\right. ; \:\, \left\{\begin{gathered}(a+1)(a+3)=8a \\ a^2+3a=6a-2 \end{gathered}\right. ; \:\)
\(\left\{\begin{gathered}a^2-4a+3=0 \\ a^2-3a+2=0 \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\left[ \begin{array}{ccc} a=1\\ a=3 \\ \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{ccc} a=1 \\ a=2\\ \end{array} \right. \end{gathered}\right. \Leftrightarrow a=1.\)
Ответ
а = 1.
