Условие задачи
Антон Акимов, Москва
Петя написал на доске числа 1, 2, 3, 4 и подвёл к ней робота-
математика Константина. Каждую минуту Константин проводит операцию:
стирает с доски какие-нибудь три числа a, b, c и записывает вместо них числа \(\displaystyle \frac{ab}{c}, \frac{bc}{a}, \frac{ca}{b}\)
а) Могут ли после нескольких операций на доске остаться только числа,
большие 1?
б) Может ли через некоторое время на доске оказаться натуральное число,
большее 100?
в) Известно, что после нескольких операций на доске оказались числа \(\displaystyle \frac{1}{4}, 6, \frac{27}{2}\) и ещё одно. Какое?
Решение
а) Нет. Посмотрим, что происходит при операции. Пусть без ограничения общности \(a \leq b \leq c\) Заметим, что тогда \(\displaystyle \frac{ab}{c} \leq \frac{ca}{b} \leq \frac{bc}{a}\), причём \(\displaystyle \frac{ab}{c} \leq a\)
Это значит, что наименьшее из чисел на доске не может увеличиться, и раз
изначально это было число 1, хотя бы одно из чисел на доске всегда будет не
превосходить 1.
б) Да. Например, сначала 2, 3, 4 Константин превращает в \(\displaystyle \frac{3}{2}, \frac{8}{3}, 6\). Второй
операцией робот из делает \(\displaystyle 1, \frac{3}{2}, 6\). Наконец, из \(\displaystyle \frac{1}{4}, 4, 9\) получаются числа,
наибольшее из которых равно 144.
в) \(\displaystyle \frac{32}{27}\) Заметим, что произведение всех чисел на доске при каждой операции
остаётся постоянным и равным 24.
Ответ
а) Нет.
б) Да.
в) \(\displaystyle \frac{32}{27}\)
