Условие задачи
Найдите площадь многоугольника АВСDE, изображенного на рисунке.
Решение
Площадь многоугольника ABCDE равна сумме площадей треугольника BCD, трапеции BKED и треугольника AKE.
Имеем:
\(\displaystyle S_{\triangle BCD}= \frac{1}{2} \cdot 9\cdot 2=9\)
\(\displaystyle S_{BKED}= \frac{1}{2} \cdot(9+3)\cdot 2=12\)
\(\displaystyle S_{\triangle AKE}= \frac{1}{2} \cdot 3\cdot 4=6\)
\(S_{ABCDE}=9+12+6= 27\)
Другой способ решения, который нравится многим старшеклассникам, – применить формулу Пика.
Назовем точку координатной плоскости целочисленной, если обе ее координаты – целые числа. На нашем рисунке это точки на пересечениях линий, разделяющих клетчатую бумагу на клетки.
Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна
Здесь В – количество целочисленных точек внутри многоугольника,
Г – количество целочисленных точек на границе многоугольника.
Главное – аккуратно посчитать. На нашем рисунке
В = 24 (показаны зеленым),
Г = 8 (показаны красным),
\(\displaystyle S = 24 + \frac{8}{2} - 1 = 27.\)
Ответ
27
