Условие задачи
Анна Малкова
Мерлин задумал прокопать тайный подземный ход длиной 196 метров от своего дома до королевского замка. Бригада гномов берет 70 золотых за 1-й метр подземного хода и за каждый следующий метр на 14 золотых больше, чем за предыдущий. Также гномы требуют: по окончании работ выставить угощение для каждого гнома на сумму 80 золотых и выплатить каждому по 920 золотых премиальных. Бригада гоблинов просит 75 золотых за 1-й метр подземного хода и на 15 золотых больше за каждый следующий метр и ничего больше. Какое наибольшее количество гномов может быть в бригаде, чтобы Мерлину было выгоднее иметь дело с ними, а не с гоблинами?
Решение
Если в бригаде k гномов, то оплата угощения и премиальные составят \((80 + 920) \cdot k = 1000 k.\)
Денежные суммы, которые гномы хотят получить за каждый метр подземного хода, составляют арифметическую прогрессию, где \(a_1=70\) (первый член прогрессии), \(d=14\) (разность прогрессии), \(n =196\) (количество метров хода).
Всего гномам придется заплатить \(S_1+1000k\) золотых, где \(S_1\) – сумма арифметической прогрессии,
\(\displaystyle S_1=\frac{2a_1+(n-1)d}{2} \cdot n=\frac{140 +(196-1) \cdot 14}{2} \cdot 196 =\)
\(=( 140 +195 \cdot 14) \cdot 98\) золотых.
Денежные суммы, которые просят гоблины за каждый метр подземного хода, также составляют арифметическую прогрессию, где \(b_1=75\) (первый член прогрессии), \(c=15\) (разность прогрессии), \(n=196\) (количество метров хода).
Сумма этой прогрессии
\(\displaystyle S_2=\frac{2b_1+(n-1)c}{2} \cdot n= \frac{150 +(196-1) \cdot 15}{2} \cdot 196=\)
\(=( 150 +195 \cdot 15) \cdot 98\) золотых.
Чтобы Мерлин предпочел иметь дело с гоблинами, необходимо, чтобы выполнялось условие:
\(S_2 \, \textless \, S_1+1000k,\) где k – количество гномов в бригаде. Получим:
\(( 150 +195 \cdot 15) \cdot 98 \, \textless \, ( 140 +195 \cdot 14) \cdot 98+1000k\)
\(1000k \, \textgreater \, 98 \cdot (150-140+ 195 \cdot 15-195 \cdot 14)\)
\(1000k \, \textgreater \, 98 \cdot 205\)
\(1000k \, \textgreater \, 20090; 100k \, \textgreater \, 2009.\)
Если \(k=20,\) то \(100k = 2000 \, \textless \, 2009,\) гномы более выгодны.
Если \(k=21,\) то \(100k = 2100 \, \textgreater \, 2009.\) Значит, в бригаде может быть не более 20 гномов.
Ответ
20