Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 2. Задание 11. Решение

Условие задачи

Анна Малкова

Мерлин задумал прокопать тайный подземный ход длиной 196 метров от своего дома до королевского замка. Бригада гномов берет 70 золотых за 1-й метр подземного хода и за каждый следующий метр на 14 золотых больше, чем за предыдущий. Также гномы требуют: по окончании работ выставить угощение для каждого гнома на сумму 80 золотых и выплатить каждому по 920 золотых премиальных. Бригада гоблинов просит 75 золотых за 1-й метр подземного хода и на 15 золотых больше за каждый следующий метр и ничего больше. Какое наибольшее количество гномов может быть в бригаде, чтобы Мерлину было выгоднее иметь дело с ними, а не с гоблинами?

Решение

Если в бригаде k гномов, то оплата угощения и премиальные составят $(80 + 920) \cdot k = 1000 k.$

Денежные суммы, которые гномы хотят получить за каждый метр подземного хода, составляют арифметическую прогрессию, где $a_1=70$ (первый член прогрессии), $d=14$ (разность прогрессии), $n =196$ (количество метров хода).

Всего гномам придется заплатить $S_1+1000k$ золотых, где $S_1$ – сумма арифметической прогрессии,

$\displaystyle S_1=\frac{2a_1+(n-1)d}{2} \cdot n=\frac{140 +(196-1) \cdot 14}{2} \cdot 196 =$

$=( 140 +195 \cdot 14) \cdot 98$ золотых.

Денежные суммы, которые просят гоблины за каждый метр подземного хода, также составляют арифметическую прогрессию, где $b_1=75$ (первый член прогрессии), $c=15$ (разность прогрессии), $n=196$ (количество метров хода).

Сумма этой прогрессии

$\displaystyle S_2=\frac{2b_1+(n-1)c}{2} \cdot n= \frac{150 +(196-1) \cdot 15}{2} \cdot 196=$

$=( 150 +195 \cdot 15) \cdot 98$ золотых.

Чтобы Мерлин предпочел иметь дело с гоблинами, необходимо, чтобы выполнялось условие:

$S_2 \, \textless \, S_1+1000k,$ где k – количество гномов в бригаде. Получим:

$( 150 +195 \cdot 15) \cdot 98 \, \textless \, ( 140 +195 \cdot 14) \cdot 98+1000k$

$1000k \, \textgreater \, 98 \cdot (150-140+ 195 \cdot 15-195 \cdot 14)$

$1000k \, \textgreater \, 98 \cdot 205$

$1000k \, \textgreater \, 20090; 100k \, \textgreater \, 2009.$

Если $k=20,$ то $100k = 2000 \, \textless \, 2009,$ гномы более выгодны.

Если $k=21,$ то $100k = 2100 \, \textgreater \, 2009.$ Значит, в бригаде может быть не более 20 гномов.

Ответ

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 2. Задание 11. Решение» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 05.03.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 2. Задание 11. Решение

Это полезно