previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 2. Задание 11. Решение

Условие задачи

Анна Малкова

Мерлин задумал прокопать тайный подземный ход длиной 196 метров от своего дома до королевского замка. Бригада гномов берет 70 золотых за 1-й метр подземного хода и за каждый следующий метр на 14 золотых больше, чем за предыдущий. Также гномы требуют: по окончании работ выставить угощение для каждого гнома на сумму 80 золотых и выплатить каждому по 920 золотых премиальных. Бригада гоблинов просит 75 золотых за 1-й метр подземного хода и на 15 золотых больше за каждый следующий метр и ничего больше. Какое наибольшее количество гномов может быть в бригаде, чтобы Мерлину было выгоднее иметь дело с ними, а не с гоблинами?

Решение

Если в бригаде k гномов, то оплата угощения и премиальные составят (80 + 920) \cdot k = 1000 k.

Денежные суммы, которые гномы хотят получить за каждый метр подземного хода, составляют арифметическую прогрессию, где a_1=70 (первый член прогрессии), d=14 (разность прогрессии), n =196 (количество метров хода).

Всего гномам придется заплатить S_1+1000k золотых, где S_1 – сумма арифметической прогрессии,

\displaystyle S_1=\frac{2a_1+(n-1)d}{2} \cdot n=\frac{140 +(196-1) \cdot 14}{2} \cdot 196 =

=( 140 +195 \cdot 14) \cdot 98 золотых.

Денежные суммы, которые просят гоблины за каждый метр подземного хода, также составляют арифметическую прогрессию, где b_1=75 (первый член прогрессии), c=15 (разность прогрессии), n=196 (количество метров хода).

Сумма этой прогрессии

\displaystyle S_2=\frac{2b_1+(n-1)c}{2} \cdot n= \frac{150 +(196-1) \cdot 15}{2} \cdot 196=

=( 150 +195 \cdot 15) \cdot 98 золотых.

Чтобы Мерлин предпочел иметь дело с гоблинами, необходимо, чтобы выполнялось условие:

S_2 \, \textless \, S_1+1000k, где k – количество гномов в бригаде. Получим:

( 150 +195 \cdot 15) \cdot 98 \, \textless \, ( 140 +195 \cdot 14) \cdot 98+1000k

1000k \, \textgreater \, 98 \cdot (150-140+ 195 \cdot 15-195 \cdot 14)

1000k \, \textgreater \, 98 \cdot 205

1000k \, \textgreater \, 20090; 100k \, \textgreater \, 2009.

Если k=20, то 100k = 2000 \, \textless \, 2009, гномы более выгодны.

Если k=21, то 100k = 2100 \, \textgreater \, 2009. Значит, в бригаде может быть не более 20 гномов.

Ответ

20