Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 2. Задание 13. Решение

Условие задачи

а) Решить уравнение $\displaystyle \frac{2-2 sin^2x- \sqrt3 cosx }{ctgx- \sqrt3} =0$

б) найти все его корни на отрезке $[- \pi ;3 \pi ]$

Решение

$\displaystyle \frac{2-2 sin^2x- \sqrt3 cosx }{ctgx- \sqrt3} =0 \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}2(1-sin^2x )- \sqrt3 cosx=0 \\ ctgx \ne \sqrt3 \\ sinx \ne 0 \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}2cosx^2- \sqrt3 cosx=0 \\ x \ne \frac{\pi}{6}+ \pi n \\ x\ne \pi k \end{gathered}\right.$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}cosx(2cosx-\sqrt{3})=0 \\ x\ne \frac{\pi}{6} +\pi n \\x\ne \pi k \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\left[ \begin{array}{ccc} cos x=0 \\ cosx=\frac{\sqrt3}{2} \\ \end{array} \right. \\ x \ne \frac{\pi}{6}+\pi n \\ x\ne \pi k \end{gathered}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\left[ \begin{array}{ccc} x=\frac{\pi}{2}+\pi n \\ x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi k \\ \end{array} \right. \\ x \ne \frac{\pi}{6}+\pi n \\ x\ne \pi k \end{gathered}\right. \Leftrightarrow$

$\displaystyle \left[ \begin{gathered} x= \frac{\pi}{2}+\pi n \\ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \\ \end{gathered} \right. \, \, \, n,k \in Z$

б) Отбор решений с помощью двойного неравенства
Найдем решение для серии $\displaystyle x= \frac{\pi} {2}+ \pi n$

$\displaystyle - \pi \leq \frac{\pi} {2} + \pi n \leq 3 \pi$

Решая это неравенство, получаем, что $\displaystyle \left[ \begin{gathered} n=-1 \\ n=0 \\n=1\\n=2 \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x= -\frac{\pi}{2} \\ x= \frac{\pi}{2}\\x= \frac{3\pi}{2}\\x= \frac{5\pi}{2} \end{gathered} \right.$

Найдем решение серии $\displaystyle x=- \frac{\pi} {6}+2 \pi k$

$\displaystyle - \pi \leq - \frac{\pi} {6} +2 \pi k \leq 3 \pi \Rightarrow \left[ \begin{gathered} k=0 \\ k=1 \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = - \frac{\pi}{6} \\ x = \frac{11\pi}{6} \\ \end{gathered} \right.$

Ответ

а) $\displaystyle \left[ \begin{gathered} x= \frac{\pi}{2}+\pi n \\ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \\ \end{gathered} \right. \, \, \, n,k \in Z$

б) $\displaystyle -\frac{\pi}{2}; \, -\frac{\pi}{6}; \, \frac{\pi}{2}; \, \frac{3\pi}{2}; \, \frac{11\pi}{6}; \, \frac{5\pi}{2}.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 2. Задание 13. Решение» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 25.03.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 2. Задание 13. Решение

Это полезно