previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 2. Задание 14. Решение

 

Условие задачи

(ЕГЭ-2019) В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 2. Точка M — середина ребра A_1C_1, а точка O — точка пересечения диагоналей боковой грани ABB_1A_1.

а) Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, являющегося сечением призмы ABCA_1B_1C_1 плоскостью AMB лежит на отрезке OC_1.

б) Найдите угол между прямой OC_1, и плоскостью AMB.

 

Решение

а) Сечение — равнобедренная трапеция AMNB, причём MN - средняя линия \displaystyle \triangle A_1B_1C_1; MN = \frac{1}{2}AB.

Пусть E — середина A_1B_1, F — середина AB, K — середина MN

P=AN \cap NM (точка пересечения диагоналей трапеции AMNB).

P \in KF (замечательное свойство трапеции);

\displaystyle \triangle KPN \sim \triangle FPB, \, \frac{KP}{PF} = \frac{KN}{FB} = \frac{1}{2}.

Покажем, что P = KF \cap OC_1.

Построим сечение призмы плоскостью C_1EF.

FP:PK = 2:1, FK - медиана \triangle FC_1E, значит, P - точка пересечения медиан \triangle FC_1E; C_1O - медиана, тогда FK \cap C_1O = P.

Найдём угол между OC_1 и AMB. Проведём OH \perp FK; \, \, OH \in (CC_1E).

Кроме того, OF \perp AB, т.к. OH \in (CC_1E); \, \, (CC_1E) \perp AB.

Значит, OH \perp (AMB); FK — проекция OC_1 на (AMB), \, \varphi = \angle FPO — искомый. Найдём \angle CPF — смежный с \angle \varphi.

Из \triangle C_1PF найдём по теореме косинусов cos \angle C_1PF.

CF = 2\sqrt{3} (высота правильного \triangle ABC)

\displaystyle C_1P = \frac{2}{3}. C_1O = \frac{2}{3}\sqrt{13}; FP = \frac{2}{3}\sqrt{7}, C_1F = 4; cos \varphi = \frac{8}{\sqrt{91}}

 

Ответ

\displaystyle \varphi = arccos \frac{8}{\sqrt{91}}