Условие задачи
Анна Малкова
На средней линии MN трапеции АВСD как на диаметре построена окружность с центром О, проходящая через вершины В и С верхнего основания трапеции и пересекающая нижнее основание АD в точках Р и Q, причем точка Р расположена между точками А и Q.
а) Докажите, что ВСQP – прямоугольник.
б) Найдите площадь четырехугольника АВОР, если AD = 12, высота трапеции АВСD равна 6.
Решение
Докажем, что BCPQ — прямоугольник. MBCN — трапеция, вписанная в окружность, значит, MBCN — равнобедренная.
Тогда ABCD — равнобедренная трапеция.
Точки E и F — середины BC и AD соответственно. Пусть \((AB) \cap (CD)\)
Согласно замечательному свойству трапеции, \(T \in EF.\)
Мы получили, что на стороне TA угла ATF отложены равные отрезки BM и AH, через их концы проведены параллельные прямые BC, MO и AD. По теореме Фалеса, эти прямые отсекают на одугой стороне угла ATF равные отрезки; OE = OF.
Тогда BE и PQ находятся на равном расстоянии от центра окружности.
Мы воспользовались тем, что трапеция ABCD — равнобедренная и отрезок, соединяющий середины оснований, перпендикулярен основаниям.
Значит, BC = PQ, так как равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.
Получим: \(BC \parallel PQ, \) BC=PQ, по признаку параллелограмма.
BCQP — параллелограмм.
Так как BCQP вписан в окружность, BCQP — прямоугольник.
б) Найдём площадь четырёхугольника ABOP, если AD = 12, EF = 6 — высота трапеции.
\(S_{ABOP} = S_{\triangle BOP} + S_{\triangle ABP}\)
\(\displaystyle S_{\triangle BOP} = \frac{1}{4} S_{BPQC} + \frac{1}{2} AP \cdot BP; BP = 6 \) — высота
\(OM = OB; \, \, BE=x;\)
\(\displaystyle x^2+9=\left (\frac{x+6}{2} \right )^2\)
\(x^2+36=x^2+12x+36\)
\(3x^2=12x\)
\(x=4\)
\(BE=4, \, AF = 6, \, AP = 2, \, OM = 5;\)
\(\displaystyle S = \frac{1}{4} \cdot 8 \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 18\)
Ответ
18
