Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 2. Задание 16. Решение

Условие задачи

Анна Малкова

На средней линии MN трапеции АВСD как на диаметре построена окружность с центром О, проходящая через вершины В и С верхнего основания трапеции и пересекающая нижнее основание АD в точках Р и Q, причем точка Р расположена между точками А и Q.
а) Докажите, что ВСQP – прямоугольник.
б) Найдите площадь четырехугольника АВОР, если AD = 12, высота трапеции АВСD равна 6.

Решение

Докажем, что BCPQ — прямоугольник. MBCN — трапеция, вписанная в окружность, значит, MBCN — равнобедренная.

Тогда ABCD — равнобедренная трапеция.

Точки E и F — середины BC и AD соответственно. Пусть $(AB) \cap (CD)$

Согласно замечательному свойству трапеции, $T \in EF.$

Мы получили, что на стороне TA угла ATF отложены равные отрезки BM и AH, через их концы проведены параллельные прямые BC, MO и AD. По теореме Фалеса, эти прямые отсекают на одугой стороне угла ATF равные отрезки; OE = OF.

Тогда BE и PQ находятся на равном расстоянии от центра окружности.

Мы воспользовались тем, что трапеция ABCD — равнобедренная и отрезок, соединяющий середины оснований, перпендикулярен основаниям.

Значит, BC = PQ, так как равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.

Получим: $BC \parallel PQ,$ BC=PQ, по признаку параллелограмма.