previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 2. Задание 16. Решение

 

Условие задачи

Анна Малкова

На средней линии MN трапеции АВСD как на диаметре построена окружность с центром О, проходящая через вершины В и С верхнего основания трапеции и пересекающая нижнее основание АD в точках Р и Q, причем точка Р расположена между точками А и Q.
а) Докажите, что ВСQP – прямоугольник.
б) Найдите площадь четырехугольника АВОР, если AD = 12, высота трапеции АВСD равна 6.

 

Решение

Докажем, что BCPQ — прямоугольник. MBCN — трапеция, вписанная в окружность, значит, MBCN — равнобедренная.

Тогда ABCD — равнобедренная трапеция.

Точки E и F — середины BC и AD соответственно. Пусть (AB) \cap (CD)

Согласно замечательному свойству трапеции, T \in EF.

Мы получили, что на стороне TA угла ATF отложены равные отрезки BM и AH, через их концы проведены параллельные прямые BC, MO и AD. По теореме Фалеса, эти прямые отсекают на одугой стороне угла ATF равные отрезки; OE = OF.

Тогда BE и PQ находятся на равном расстоянии от центра окружности.

Мы воспользовались тем, что трапеция ABCD — равнобедренная и отрезок, соединяющий середины оснований, перпендикулярен основаниям.

Значит, BC = PQ, так как равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.

Получим: BC \parallel PQ, BC=PQ, по признаку параллелограмма.

BCQP — параллелограмм.

Так как BCQP вписан в окружность, BCQP — прямоугольник.

б) Найдём площадь четырёхугольника ABOP, если AD = 12, EF = 6 — высота трапеции.

S_{ABOP} = S_{\triangle BOP} + S_{\triangle ABP}

\displaystyle S_{\triangle BOP} = \frac{1}{4} S_{BPQC} + \frac{1}{2} AP \cdot BP; BP = 6 — высота

OM = OB; \, \, BE=x;

\displaystyle x^2+9=\left (\frac{x+6}{2}  \right )^2

x^2+36=x^2+12x+36

3x^2=12x

x=4

BE=4, \, AF = 6, \, AP = 2, \, OM = 5;

\displaystyle S = \frac{1}{4} \cdot 8 \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 18

 

Ответ

18