Условие задачи
Анна Малкова
1 сентября 2019 года в заповеднике обитало 256 криворогих оленей. Известно, что в течение года численность популяции криворогих оленей увеличивается в среднем на 25% (за счет естественного прироста). Кроме того, биологи собираются увеличить количество оленей в заповеднике не менее чем до 1000 и для этого 1 сентября 2020, 2021, 2022 и 2023 года будут завозить в заповедник одинаковое количество новых оленей. Какое наименьшее количество оленей им придется завозить в заповедник ежегодно?
Решение
Пусть S = 256 — начальное количество оленей,
\(\displaystyle k = 1,25 = \frac{5}{4};\)
X оленей завозят ежегодно.
\((((Sk+x)\cdot k+x)\cdot k+x)\cdot k+x \geq 1000\)
\(Sk^4 + X(k^3 + k^2 +k +1) \geq 1000\)
\(\displaystyle 256 \cdot \left (\frac{5}{4} \right )^4 = \frac{256}{16^2} \cdot 25^2 =625;\)
\(625 + x (k^2 +1)(k+1) \geq 1000\)
\(\displaystyle x(\frac{5}{4}+1)(\frac{25}{16}+1) \geq 375\)
\(\displaystyle \frac{41}{16}x \geq \frac{125 \cdot 4}{3}\)
\(\displaystyle x \geq \frac{125 \cdot 64}{123};\)
\(\displaystyle x \geq \frac{125}{123}\cdot 64.\)
Покажем простой способ решения этого неравенства, без сложных вычислений. Учитываем, что х - целое число.
Очевидно, \(x \, \textgreater \, 64.\)
Проверим x=65.
\(\displaystyle \frac{65}{64} \vee \frac{125}{123}\)
\(\displaystyle 1 + \frac{1}{64} \vee 1+ \frac{2}{123}\)
\(\displaystyle \frac{1}{64} \vee \frac{2}{123}\)
\(\displaystyle \frac{2}{128} \, \textless \, \frac{2}{123}\)
Значт, \(x=65\) - не подходит.
Если \(x=66,\)
\(\displaystyle \frac{66}{64} \vee \frac{125}{123}\)
\(\displaystyle \frac{2}{64} \vee \frac{2}{123}\)
\(\displaystyle \frac{66}{64} \, \textgreater \, \frac{125}{23}\)
\(x=66\) подходит
Ответ
66 оленей
