Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 2. Задание 18. Решение

Условие задачи

Найдите все значения параметра а, для каждого из которых область значений функции \(\displaystyle y= \frac{sinx+a}{cos2x-2}\) содержит число 2.

Решение

Условие задачи можно сформулировать так: найдем, при каких значениях параметра а уравнение \(\displaystyle \frac{sinx+a}{cos2x-2} =2 \) имеет хотя бы одно решение.

ОДЗ уравнения: \(cos 2x - 2 \ne 0\); это условие выполнено для всех X.

\(sin x+a=2cos 2x-4;\)

Сделаем замену \(cos 2x = 1- 2sin^2x;\)

\(sinx=t, \, \, \, t \in [-1;1]\)

Получим: \(t+a=2(1-2t^2)-4\)

\(t+a=2-4t^2-4\)

Переформулируем условие: найдём, при каких a уравнение \(4t^2+t+a+2=0\) имеет решения на отрезке \(t \in [-1;1]\)

\(4t^2+t=-(a+2);\)

Пусть \(-(a+2)=b\)

Найдём, при каких значениях b уравнение \(4t^2+b\) имеет решение при \(t \in [-1;1]\)

Построим график функции \(Z(t)=4t^2+t.\) Это квадратичная парабола с ветвями вверх, вершина в точке \(\displaystyle t_0 = - \frac{1}{8}, Z(t_0) = -\frac{1}{16}\)

\(z(t)=0\) при \(t_0\) или \(\displaystyle t= - \frac{1}{4}\)

\(z(1)=5;\)

\(z(-1 )=3\)