Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 2. Задание 18. Решение

Условие задачи

Найдите все значения параметра а, для каждого из которых область значений функции $\displaystyle y= \frac{sinx+a}{cos2x-2}$ содержит число 2.

Решение

Условие задачи можно сформулировать так: найдем, при каких значениях параметра а уравнение $\displaystyle \frac{sinx+a}{cos2x-2} =2$ имеет хотя бы одно решение.

ОДЗ уравнения: $cos 2x - 2 \ne 0$ ; это условие выполнено для всех X.

$sin x+a=2cos 2x-4;$

Сделаем замену $cos 2x = 1- 2sin^2x;$

$sinx=t, \, \, \, t \in [-1;1]$

Получим: $t+a=2(1-2t^2)-4$

$t+a=2-4t^2-4$

Переформулируем условие: найдём, при каких a уравнение $4t^2+t+a+2=0$ имеет решения на отрезке $t \in [-1;1]$

$4t^2+t=-(a+2);$

Пусть $-(a+2)=b$

Найдём, при каких значениях b уравнение $4t^2+b$ имеет решение при $t \in [-1;1]$

Построим график функции $Z(t)=4t^2+t.$ Это квадратичная парабола с ветвями вверх, вершина в точке $\displaystyle t_0 = - \frac{1}{8}, Z(t_0) = -\frac{1}{16}$