previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 2. Задание 18. Решение

 

Условие задачи

Найдите все значения параметра а, для каждого из которых область значений функции \displaystyle y= \frac{sinx+a}{cos2x-2} содержит число 2.

 

Решение

Условие задачи можно сформулировать так: найдем, при каких значениях параметра а уравнение \displaystyle \frac{sinx+a}{cos2x-2} =2 имеет хотя бы одно решение.

ОДЗ уравнения: cos 2x - 2 \ne 0; это условие выполнено для всех X.

sin x+a=2cos 2x-4;

Сделаем замену cos 2x = 1- 2sin^2x;

sinx=t, \, \, \, t \in [-1;1]

Получим: t+a=2(1-2t^2)-4

t+a=2-4t^2-4

Переформулируем условие: найдём, при каких a уравнение 4t^2+t+a+2=0 имеет решения на отрезке t \in [-1;1]

4t^2+t=-(a+2);

Пусть -(a+2)=b

Найдём, при каких значениях b уравнение 4t^2+b имеет решение при t \in [-1;1]

Построим график функции Z(t)=4t^2+t. Это квадратичная парабола с ветвями вверх, вершина в точке \displaystyle t_0 = - \frac{1}{8}, Z(t_0) = -\frac{1}{16}

z(t)=0 при t_0 или \displaystyle t= - \frac{1}{4}

z(1)=5;

z(-1 )=3

Уравнение 4t^2+t=b имеет решение на отрезке t \in [-1;1], если \displaystyle -\frac{1}{16} \leq b \leq 5;

\displaystyle -\frac{1}{16} \leq -a-2 \leq 5;

\displaystyle \frac{31}{16 }\leq -a \leq 7

\displaystyle -7 \leq a \leq -\frac{31}{16}

 

Ответ

\displaystyle -7 \leq a \leq -\frac{31}{16}