Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 2. Задание 18. Решение

Условие задачи

Найдите все значения параметра а, для каждого из которых область значений функции $\displaystyle y= \frac{sinx+a}{cos2x-2}$ содержит число 2.

Решение

Условие задачи можно сформулировать так: найдем, при каких значениях параметра а уравнение $\displaystyle \frac{sinx+a}{cos2x-2} =2$ имеет хотя бы одно решение.

ОДЗ уравнения: $cos 2x - 2 \ne 0$ ; это условие выполнено для всех X.

$sin x+a=2cos 2x-4;$

Сделаем замену $cos 2x = 1- 2sin^2x;$

$sinx=t, \, \, \, t \in [-1;1]$

Получим: $t+a=2(1-2t^2)-4$

$t+a=2-4t^2-4$

Переформулируем условие: найдём, при каких a уравнение $4t^2+t+a+2=0$ имеет решения на отрезке $t \in [-1;1]$

$4t^2+t=-(a+2);$

Пусть $-(a+2)=b$

Найдём, при каких значениях b уравнение $4t^2+b$ имеет решение при $t \in [-1;1]$

Построим график функции $Z(t)=4t^2+t.$ Это квадратичная парабола с ветвями вверх, вершина в точке $\displaystyle t_0 = - \frac{1}{8}, Z(t_0) = -\frac{1}{16}$

$z(t)=0$ при $t_0$ или $\displaystyle t= - \frac{1}{4}$

$z(1)=5;$

$z(-1 )=3$

Уравнение $4t^2+t=b$ имеет решение на отрезке $t \in [-1;1],$ если $\displaystyle -\frac{1}{16} \leq b \leq 5;$

$\displaystyle -\frac{1}{16} \leq -a-2 \leq 5;$

$\displaystyle \frac{31}{16 }\leq -a \leq 7$

$\displaystyle -7 \leq a \leq -\frac{31}{16}$

Ответ

$\displaystyle -7 \leq a \leq -\frac{31}{16}$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 2. Задание 18. Решение» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 05.03.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 2. Задание 18. Решение

Это полезно