Условие задачи
В ящике лежит 76 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 85 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 124 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 8 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
Решение
Скажем, что в ящике:
k фруктов с массой меньше 100 г (лёгкие)
m фруктов по 100 г
n фруктов массой больше 100 г (тяжёлые)
составим таблицу
| фрукты | количество | средняя масса | общая масса |
| лёгкие | k | 85 | 85k |
| по 100г | m | 100 | 100m |
| тяжёлые | n | 124 | 124n |
| всего | 76 | 100 | 7600=100(k+m+n) |
Мы получили уравнение:
\(k+m+n=76\)
\(85k+100m+124n=100 (k+m+n)\)
Из второго уравнения: \(8n=5k.\)
Значит, \(k \vdots 8, n \vdots 5\)
Обозначим \(n = 5z, \, k=8t.\)
Так как \(8n = 5k, \, z=t\)
а) Пусть \(n=k\). Тогда \(8n=5n\) — противоречие. Значит, лёгких и тяжёлых фруктов не может быть поровну
б) Так как \(k=8z, \, n=5z,\)
\(n+k=8z+5z=13z\)
Значит, количество фруктов с массой, не равной 100 г, делится на 13, при этом \(13z \leq 76\)
(так как \(k+m+n = 76\))
Тогда \(z\leq 5\) и \(k+n=13z \leq 65.\)
\(m = 76-(k+n) \geq 75-65;\)
\(m \geq 11.\) Значит, m=8 — невозможно
в) Пусть x — масса самого тяжёлого фрукта в ящике.
Масса каждого из тяжёлых фруктов не менее 101 г.
Масса тяжёлых фруктов равна 124n, и это не меньше, чем \(x+(n-1) \cdot 101\)
\(124n \geq x+(n-1)\cdot 101\)
\(x\leq 23n +101.\)
Так как \(n=5z\) и \(z \leq 5\) (смотри пункт б)
\(n \leq 25\)
\(x\leq 23 \cdot 25 +101, x\leq 676\) — оценка
Пример для \(x=676\)
40 фруктов по 85г
11 по 100г
24 по 101г
1 676 г — все условия выполняются.
Ответ
а) нет
б) нет
в) 676
