Условие задачи
Найдите наибольшее значение функции \(y=\left(x^2-10x+10\right)e^{10-x}\) на отрезке \(\left[5;11\right]\).
Решение
Найдем производную y(x) по формуле производной произведения.
\((u\cdot v)'=u'v+v'u\)
Вспомним также, что \({(e^{a-x})}'=-e^{a-x}\)
\(y'(x)=(x^2-10x+10)'e^{10-x}+(x^2-10x+10)(e^{10-x})'=\)
\(=\left(2x-10\right)e^{10-x}-(x^2-10x+10)e^{10-x}=\)
\(=-e^{10-x}(\ x^2-12x+20)=-e^{10-x}( x-10)(x-2) \)
Множитель \(e^{10-x}\\) всегда положителен. Следовательно, знаки производной будут такими же, как и знаки выражения — \((\ x-10)(x-2)\)
В точке 10, принадлежащей отрезку [5; 11], производная функции равна нулю и меняет знак с «+» на «минус». Значит, x = 11 — точка максимума функции y(x), и наибольшее значение функции y(x) на отрезке [5;11] достигается в точке 10. Оно равно:
\(\left({10}^2-100+10\right)e^{10-10}=10\)
Ответ
10