previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 12. Решение

 

Условие задачи

Найдите наибольшее значение функции y=\left(x^2-10x+10\right)e^{10-x} на отрезке \left[5;11\right].

 

Решение

Найдем производную y(x) по формуле производной произведения.
(u\cdot v)
Вспомним также, что {(e^{a-x})}

y

=\left(2x-10\right)e^{10-x}-(x^2-10x+10)e^{10-x}=

=-e^{10-x}(\ x^2-12x+20)=-e^{10-x}( x-10)(x-2)

Множитель e^{10-x}\ всегда положителен. Следовательно, знаки производной будут такими же, как и знаки выражения — (\ x-10)(x-2)

В точке 10, принадлежащей отрезку [5; 11], производная функции равна нулю и меняет знак с «+» на «минус». Значит, x = 11 — точка максимума функции y(x), и наибольшее значение функции y(x) на отрезке [5;11] достигается в точке 10. Оно равно:

\left({10}^2-100+10\right)e^{10-10}=10

 

Ответ

10