Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 13. Решение

Условие задачи

а) Решите уравнение $\displaystyle \sqrt{3}-4{{\cos }^{{ 3}} x\ }\cdot {\sin x\ }=\sqrt{3}{{\cos }^{{ 2}} x\ }-2{\sin 2x\ }$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left[-5\pi;\ -\frac{5\pi}{2}\right]$

Решение

$\displaystyle \sqrt{3}-4{{\cos }^{{ 3}} x\ }\cdot {\sin x\ }=\sqrt{3}{{\cos }^{{ 2}} x\ }-2{\sin 2x\ }$

$\displaystyle \sqrt{3}-4{{\cos }^{{ 3}} x\ }\cdot {\sin x\ }-\sqrt{3}{{\cos }^{{ 2}} x\ }+2{\sin 2x\ }=0$

$\displaystyle \left(\sqrt{3}-\sqrt{3}{{\cos }^{{ 2}} x\ }\right)-\left(4{{\cos }^{{ 3}} x\ }\cdot {\sin x\ }-2{\sin 2x\ }\right)=0$

$\displaystyle \sqrt{3}\left(1-{{\cos }^{{ 2}} x\ }\right)-2\left(2{{\cos }^{{ 3}} x\ }\cdot {\sin x\ }-{\sin 2x\ }\right)=0$

$\displaystyle \sqrt{3}{{\sin }^{{ 2}} x\ }-2{\sin 2x\ }\left({{\cos }^{{ 2}} x\ }-1\right)=0$

$\displaystyle \sqrt{3}{{\sin }^{{ 2}} x\ }-2{\sin 2x\ }\left({{{ -}\sin }^{{ 2}} x\ }\right)=0$

$\displaystyle \sqrt{3}{{\sin }^{{ 2}} x\ }+2{\sin 2x\ }\cdot {{\sin }^{{ 2}} x\ }=0$

$\displaystyle {{\sin }^{{ 2}} x\ }\cdot \left(\sqrt{3}+2{\sin 2x\ }\right)=0$

$\displaystyle {{\sin }^{{ 2}} x\ }=0\$ или $\displaystyle {\sin 2x\ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решим уравнение $\displaystyle {{\sin }^{{ 2}} x\ }=0$

$\displaystyle {\sin x\ }=0$

$\displaystyle x=\pi n,\ n\in Z$

Решим уравнение $\displaystyle {\sin 2x\ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle \sqrt{3}+2{\sin 2x\ }=0$

$\displaystyle {\sin 2x\ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle \left[ \begin{array}{c}2x={\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\ }+2\pi m,\ m\in Z \\ 2x=\pi -{\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\ }+2\pi k,\ k\in Z \end{array}\right.$

$\displaystyle \left[ \begin{array}{c}2x=-\frac{\pi }{3}+2\pi m \\ 2x=\frac{4\pi }{3}+2\pi k \end{array}\right.$

$\displaystyle \left[ \begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{6}+\pi m \\ x=\frac{4\pi }{6}+\pi k \end{array}\right.$

$\displaystyle \left[ \begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{6}+\pi m,\ m\in Z \\ x=\frac{2\pi }{3}+\pi k,\ k\in Z \end{array}\right.$

б) Найдем все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]$

Рассмотрим серию решений $x=\pi n,\ n\in Z$
$\displaystyle -5n\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]$

$\displaystyle -4n\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]$

$\displaystyle -3n\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]$

Рассмотрим серию решений $\displaystyle x=\frac{2\pi }{3}+\pi k,\ k\in Z$

$\displaystyle -5\pi \le \frac{2\pi }{3}+\pi k\le -\frac{5\pi }{2}$

$\displaystyle -5\le \frac{2}{3}+k\le -\frac{5}{2}$

$\displaystyle -30\le 4+6k\le -15$

$\displaystyle -34\le 6k\le -19$

$\displaystyle -\frac{34}{6}\le k\le -\frac{19}{6}$

$\displaystyle -5\frac{4}{6}\le k\le -3\frac{1}{6}$

$\displaystyle k=-5\Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}-5\pi =-\frac{13\pi }{3}\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]$

$\displaystyle k=-4\Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}-4\pi =-\frac{10\pi }{3}\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]$

Рассмотрим серию решений $\displaystyle x=-\frac{\pi }{6}+\pi m,\ m\in Z$

$\displaystyle -5\pi \le -\frac{\pi }{6}+\pi m\le -\frac{5\pi }{2}$

$\displaystyle -5\le -\frac{1}{6}+m\le -\frac{5}{2}$

$\displaystyle -30\le -1+6m\le -15$

$\displaystyle -29\le 6m\le -14$

$\displaystyle -\frac{29}{6}\le m\le -\frac{14}{6}$

$\displaystyle m=-4\Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}-4\pi =-\frac{25\pi }{6}\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]$

$\displaystyle m=-3\Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}-3\pi =-\frac{19\pi }{6}\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]$

Ответ

а) $\displaystyle x=\pi n,\ n\in Z$ , $\displaystyle -\frac{\pi }{6}+\pi m,\ m\in Z, \frac{2\pi }{3}+\pi k,\ k\in Z$

б) $\displaystyle -5n, -4n, -3n, -\frac{13\pi }{3}, -\frac{10\pi }{3}, -\frac{25\pi }{6}, -\frac{19\pi }{6}.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 13. Решение» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 23.03.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 13. Решение

Это полезно