previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 13. Решение

Условие задачи

а) Решите уравнение \displaystyle \sqrt{3}-4{{\cos }^{{  3}} x\ }\cdot {\sin  x\ }=\sqrt{3}{{\cos }^{{  2}} x\ }-2{\sin  2x\ }

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle \left[-5\pi;\ -\frac{5\pi}{2}\right]

Решение

\displaystyle \sqrt{3}-4{{\cos }^{{  3}} x\ }\cdot {\sin  x\ }=\sqrt{3}{{\cos }^{{  2}} x\ }-2{\sin  2x\ }

\displaystyle \sqrt{3}-4{{\cos }^{{  3}} x\ }\cdot {\sin  x\ }-\sqrt{3}{{\cos }^{{  2}} x\ }+2{\sin  2x\ }=0

\displaystyle \left(\sqrt{3}-\sqrt{3}{{\cos }^{{  2}} x\ }\right)-\left(4{{\cos }^{{  3}} x\ }\cdot {\sin  x\ }-2{\sin  2x\ }\right)=0

\displaystyle \sqrt{3}\left(1-{{\cos }^{{  2}} x\ }\right)-2\left(2{{\cos }^{{  3}} x\ }\cdot {\sin  x\ }-{\sin  2x\ }\right)=0

\displaystyle \sqrt{3}{{\sin }^{{  2}} x\ }-2{\sin  2x\ }\left({{\cos }^{{  2}} x\ }-1\right)=0

\displaystyle \sqrt{3}{{\sin }^{{  2}} x\ }-2{\sin  2x\ }\left({{{  -}\sin }^{{  2}} x\ }\right)=0

\displaystyle \sqrt{3}{{\sin }^{{  2}} x\ }+2{\sin  2x\ }\cdot {{\sin }^{{  2}} x\ }=0

\displaystyle {{\sin }^{{  2}} x\ }\cdot \left(\sqrt{3}+2{\sin  2x\ }\right)=0

\displaystyle {{\sin }^{{  2}} x\ }=0\ или \displaystyle {\sin  2x\ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}

Решим уравнение \displaystyle {{\sin }^{{  2}} x\ }=0

\displaystyle {\sin  x\ }=0

\displaystyle x=\pi n,\ n\in Z

Решим уравнение \displaystyle {\sin  2x\ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle \sqrt{3}+2{\sin  2x\ }=0

\displaystyle {\sin  2x\ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle \left[ \begin{array}{c}2x={\arcsin  \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\ }+2\pi m,\ m\in Z \\ 2x=\pi -{\arcsin  \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\ }+2\pi k,\ k\in Z \end{array}\right.

\displaystyle \left[ \begin{array}{c}2x=-\frac{\pi }{3}+2\pi m \\ 2x=\frac{4\pi }{3}+2\pi k \end{array}\right.

\displaystyle \left[ \begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{6}+\pi m \\ x=\frac{4\pi }{6}+\pi k \end{array}\right.

\displaystyle \left[ \begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{6}+\pi m,\ m\in Z \\ x=\frac{2\pi }{3}+\pi k,\ k\in Z \end{array}\right.

б) Найдем все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]

Рассмотрим серию решений x=\pi n,\ n\in Z
\displaystyle -5n\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]

\displaystyle -4n\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]

\displaystyle -3n\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]

Рассмотрим серию решений \displaystyle x=\frac{2\pi }{3}+\pi k,\ k\in Z

\displaystyle -5\pi \le \frac{2\pi }{3}+\pi k\le -\frac{5\pi }{2}

\displaystyle -5\le \frac{2}{3}+k\le -\frac{5}{2}

\displaystyle -30\le 4+6k\le -15

\displaystyle -34\le 6k\le -19

\displaystyle -\frac{34}{6}\le k\le -\frac{19}{6}

\displaystyle -5\frac{4}{6}\le k\le -3\frac{1}{6}

\displaystyle k=-5\Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}-5\pi =-\frac{13\pi }{3}\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]

\displaystyle k=-4\Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}-4\pi =-\frac{10\pi }{3}\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]

Рассмотрим серию решений \displaystyle x=-\frac{\pi }{6}+\pi m,\ m\in Z

\displaystyle -5\pi \le -\frac{\pi }{6}+\pi m\le -\frac{5\pi }{2}

\displaystyle -5\le -\frac{1}{6}+m\le -\frac{5}{2}

\displaystyle -30\le -1+6m\le -15

\displaystyle -29\le 6m\le -14

\displaystyle -\frac{29}{6}\le m\le -\frac{14}{6}

\displaystyle m=-4\Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}-4\pi =-\frac{25\pi }{6}\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]

\displaystyle m=-3\Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}-3\pi =-\frac{19\pi }{6}\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]

Ответ

а) \displaystyle x=\pi n,\ n\in Z , \displaystyle -\frac{\pi }{6}+\pi m,\ m\in Z, \frac{2\pi }{3}+\pi k,\ k\in Z

б) \displaystyle -5n, -4n, -3n, -\frac{13\pi }{3}, -\frac{10\pi }{3}, -\frac{25\pi }{6}, -\frac{19\pi }{6}.