previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 13. Решение

Условие задачи

а) Решите уравнение \(\displaystyle \sqrt{3}-4{{\cos }^{{ 3}} x\ }\cdot {\sin x\ }=\sqrt{3}{{\cos }^{{ 2}} x\ }-2{\sin 2x\ }\)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\displaystyle \left[-5\pi;\ -\frac{5\pi}{2}\right]\)

Решение

\(\displaystyle \sqrt{3}-4{{\cos }^{{ 3}} x\ }\cdot {\sin x\ }=\sqrt{3}{{\cos }^{{ 2}} x\ }-2{\sin 2x\ }\)

\(\displaystyle \sqrt{3}-4{{\cos }^{{ 3}} x\ }\cdot {\sin x\ }-\sqrt{3}{{\cos }^{{ 2}} x\ }+2{\sin 2x\ }=0\)

\(\displaystyle \left(\sqrt{3}-\sqrt{3}{{\cos }^{{ 2}} x\ }\right)-\left(4{{\cos }^{{ 3}} x\ }\cdot {\sin x\ }-2{\sin 2x\ }\right)=0\)

\(\displaystyle \sqrt{3}\left(1-{{\cos }^{{ 2}} x\ }\right)-2\left(2{{\cos }^{{ 3}} x\ }\cdot {\sin x\ }-{\sin 2x\ }\right)=0\)

\(\displaystyle \sqrt{3}{{\sin }^{{ 2}} x\ }-2{\sin 2x\ }\left({{\cos }^{{ 2}} x\ }-1\right)=0\)

\(\displaystyle \sqrt{3}{{\sin }^{{ 2}} x\ }-2{\sin 2x\ }\left({{{ -}\sin }^{{ 2}} x\ }\right)=0\)

\(\displaystyle \sqrt{3}{{\sin }^{{ 2}} x\ }+2{\sin 2x\ }\cdot {{\sin }^{{ 2}} x\ }=0\)

\(\displaystyle {{\sin }^{{ 2}} x\ }\cdot \left(\sqrt{3}+2{\sin 2x\ }\right)=0\)

\(\displaystyle {{\sin }^{{ 2}} x\ }=0\\) или \(\displaystyle {\sin 2x\ }=-\frac{\sqrt{3}}{2} \)

Решим уравнение \(\displaystyle {{\sin }^{{ 2}} x\ }=0\)

\(\displaystyle {\sin x\ }=0\)

\(\displaystyle x=\pi n,\ n\in Z\)

Решим уравнение \(\displaystyle {\sin 2x\ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\displaystyle \sqrt{3}+2{\sin 2x\ }=0\)

\(\displaystyle {\sin 2x\ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{c}
2x={\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\ }+2\pi m,\ m\in Z \\
2x=\pi -{\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\ }+2\pi k,\ k\in Z \end{array}
\right.\)

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{c}
2x=-\frac{\pi }{3}+2\pi m \\
2x=\frac{4\pi }{3}+2\pi k \end{array}
\right.\)

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{c}
x=-\frac{\pi }{6}+\pi m \\
x=\frac{4\pi }{6}+\pi k \end{array}
\right.\)

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{c}
x=-\frac{\pi }{6}+\pi m,\ m\in Z \\
x=\frac{2\pi }{3}+\pi k,\ k\in Z \end{array}
\right.\)

б) Найдем все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\displaystyle \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]\)

Рассмотрим серию решений \(x=\pi n,\ n\in Z \)
\(\displaystyle -5n\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]\)

\(\displaystyle -4n\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]\)

\(\displaystyle -3n\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]\)

Рассмотрим серию решений \(\displaystyle x=\frac{2\pi }{3}+\pi k,\ k\in Z\)

\(\displaystyle -5\pi \le \frac{2\pi }{3}+\pi k\le -\frac{5\pi }{2}\)

\(\displaystyle -5\le \frac{2}{3}+k\le -\frac{5}{2}\)

\(\displaystyle -30\le 4+6k\le -15\)

\(\displaystyle -34\le 6k\le -19\)

\(\displaystyle -\frac{34}{6}\le k\le -\frac{19}{6}\)

\(\displaystyle -5\frac{4}{6}\le k\le -3\frac{1}{6}\)

\(\displaystyle k=-5\Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}-5\pi =-\frac{13\pi }{3}\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]\)

\(\displaystyle k=-4\Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}-4\pi =-\frac{10\pi }{3}\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]\)

Рассмотрим серию решений \(\displaystyle x=-\frac{\pi }{6}+\pi m,\ m\in Z\)

\(\displaystyle -5\pi \le -\frac{\pi }{6}+\pi m\le -\frac{5\pi }{2}\)

\(\displaystyle -5\le -\frac{1}{6}+m\le -\frac{5}{2}\)

\(\displaystyle -30\le -1+6m\le -15\)

\(\displaystyle -29\le 6m\le -14\)

\(\displaystyle -\frac{29}{6}\le m\le -\frac{14}{6}\)

\(\displaystyle m=-4\Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}-4\pi =-\frac{25\pi }{6}\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]\)

\(\displaystyle m=-3\Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}-3\pi =-\frac{19\pi }{6}\in \left[-5\pi ;\ -\frac{5\pi }{2}\right]\)

Ответ

а) \( \displaystyle x=\pi n,\ n\in Z \), \(\displaystyle -\frac{\pi }{6}+\pi m,\ m\in Z, \frac{2\pi }{3}+\pi k,\ k\in Z \)

б) \(\displaystyle -5n, -4n, -3n, -\frac{13\pi }{3}, -\frac{10\pi }{3}, -\frac{25\pi }{6}, -\frac{19\pi }{6}.\)