Условие задачи
Анна Малкова. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер AB и BC и точку P, делящую ребро
в отношении 2:5, считая от вершины
.
а) Докажите, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости .
б) Найдите площадь сечения куба этой плоскостью, если ребро куба равно 1.
Решение
Проведём прямую MN в плоскость ABC; MN — средняя
Пусть
Соединим в плоскости точки R и P; получим:
в плоскости проведём PL;
Пятиугольник MNFPE — искомое сечение.
т.к.
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости,
Так как по признаку перпендикулярности плоскости
б) Найдём площадь сечения
Пусть AB = 1.
Воспользуемся формулой прямоугольной проекции фигуры
— угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции;
AMNCD — проекция MNFPF на плоскость (ABC);
Пусть
Рассмотрим
по теореме о трёх перпендикулярах
— это угол между плоскостями
и
по определению угла между плоскостями.
Применим формулу
Ответ