previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 14. Решение

 

Условие задачи

Анна Малкова. Постройте сечение куба A\dots D_1 плоскостью, проходящей через середины ребер AB и BC и точку P, делящую ребро DD_1 в отношении 2:5, считая от вершины D_1.

а) Докажите, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости DD_1B_1.

б) Найдите площадь сечения куба этой плоскостью, если ребро куба равно 1.

 

Решение

Проведём прямую MN в плоскость ABC; MN — средняя \triangle ABC, MN \parallel AC.

Пусть (MN) \cap (AD) = R;

(MN) \cap (CD) = L;

Соединим в плоскости (ABD_1) точки R и P; получим: RP \cap AA_1=E;

в плоскости CC_1D_1 проведём PL;

PL \cap CC_1=F;

Пятиугольник MNFPE — искомое сечение.

AC \perp BD, \, MN \parallel AC \Rightarrow AC \perp BD;

MN \perp DD_1, т.к. MN \in (ABC);

по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, MN \perp (BDD_1).

Так как MN \in (MNF), \, \, (MNF) \perp (BDD_1) по признаку перпендикулярности плоскости

б) Найдём площадь сечения

Пусть AB = 1.

Воспользуемся формулой прямоугольной проекции фигуры

\varphi — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции;

AMNCD — проекция MNFPF на плоскость (ABC);

\displaystyle S_{AMNCD}=S_{ABCD}-S_{\triangle MBN} = (1 - \frac{1}{8}) \cdot S_{ABCD} = \frac{7}{8}.

Пусть K = MN \cap BD;

Рассмотрим \triangle KPD;

DK \perp MN,

PK \perp MN по теореме о трёх перпендикулярах

\varphi = \angle PKD — это угол между плоскостями (MNF) и (ABC) по определению угла между плоскостями.

\displaystyle tg \, \varphi = \frac{PD}{DK} = \frac{5 \cdot DD_1}{7} : (\frac{3}{4} \cdot \sqrt2 BD) =

\displaystyle = \frac{5 \cdot 4}{3 \cdot 7 \cdot \sqrt2} = \frac{20}{21 \cdot \sqrt2};

Применим формулу \displaystyle 1+ tg^2 \varphi = \frac{1}{cos^ \varphi}

\displaystyle 1+ (\frac{20}{21 \sqrt 2})^2 = 1+ \frac{200}{441} = \frac{641}{441} = \frac{1}{cos^ \varphi}

\displaystyle cos^2 \varphi = \frac{441}{641}; \, \, \, cos \varphi = \frac{21}{\sqrt{641}}

\displaystyle S_{MNFPE} = \frac{S_{AMNCD}}{cos \, \varphi} = \frac{7 \cdot \sqrt{641}}{8 \cdot 21} = \frac{\sqrt{641}}{24}

 

Ответ

\displaystyle \frac{\sqrt{641}}{24}