Условие задачи
Анна Малкова. Постройте сечение куба \(A\dots D_1 \)плоскостью, проходящей через середины ребер AB и BC и точку P, делящую ребро \(DD_1\) в отношении 2:5, считая от вершины \(D_1\).
а) Докажите, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости \(DD_1B_1\).
б) Найдите площадь сечения куба этой плоскостью, если ребро куба равно 1.
Решение
Проведём прямую MN в плоскость ABC; MN — средняя \(\triangle ABC, MN \parallel AC.\)
Пусть \((MN) \cap (AD) = R;\)
\((MN) \cap (CD) = L;\)
Соединим в плоскости \((ABD_1)\) точки R и P; получим: \(RP \cap AA_1=E;\)
в плоскости \(CC_1D_1\) проведём PL;
\(PL \cap CC_1=F;\)
Пятиугольник MNFPE — искомое сечение.
\(AC \perp BD, \, MN \parallel AC \Rightarrow AC \perp BD;\)
\(MN \perp DD_1,\) т.к. \(MN \in (ABC);\)
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, \(MN \perp (BDD_1).\)
Так как \(MN \in (MNF), \, \, (MNF) \perp (BDD_1)\) по признаку перпендикулярности плоскости
б) Найдём площадь сечения
Пусть AB = 1.
Воспользуемся формулой прямоугольной проекции фигуры
\(\varphi\) — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции;
AMNCD — проекция MNFPF на плоскость (ABC);
\(\displaystyle S_{AMNCD}=S_{ABCD}-S_{\triangle MBN} = (1 - \frac{1}{8}) \cdot S_{ABCD} = \frac{7}{8}.\)
Пусть \(K = MN \cap BD;\)
Рассмотрим \(\triangle KPD;\)
\(DK \perp MN,\)
\(PK \perp MN\) по теореме о трёх перпендикулярах
\(\varphi = \angle PKD\) — это угол между плоскостями \((MNF)\) и \((ABC)\) по определению угла между плоскостями.
\(\displaystyle tg \, \varphi = \frac{PD}{DK} = \frac{5 \cdot DD_1}{7} : (\frac{3}{4} \cdot \sqrt2 BD) = \)
\(\displaystyle = \frac{5 \cdot 4}{3 \cdot 7 \cdot \sqrt2} = \frac{20}{21 \cdot \sqrt2};\)
Применим формулу \(\displaystyle 1+ tg^2 \varphi = \frac{1}{cos^ \varphi}\)
\(\displaystyle 1+ (\frac{20}{21 \sqrt 2})^2 = 1+ \frac{200}{441} = \frac{641}{441} = \frac{1}{cos^ \varphi}\)
\(\displaystyle cos^2 \varphi = \frac{441}{641}; \, \, \, cos \varphi = \frac{21}{\sqrt{641}}\)
\(\displaystyle S_{MNFPE} = \frac{S_{AMNCD}}{cos \, \varphi} = \frac{7 \cdot \sqrt{641}}{8 \cdot 21} = \frac{\sqrt{641}}{24}\)
Ответ
\(\displaystyle \frac{\sqrt{641}}{24}\)
