Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 14. Решение

Условие задачи

Анна Малкова. Постройте сечение куба $A\dots D_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер AB и BC и точку P, делящую ребро $DD_1$ в отношении 2:5, считая от вершины $D_1$ .

а) Докажите, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости $DD_1B_1$ .

б) Найдите площадь сечения куба этой плоскостью, если ребро куба равно 1.

Решение

Проведём прямую MN в плоскость ABC; MN — средняя $\triangle ABC, MN \parallel AC.$

Пусть $(MN) \cap (AD) = R;$

$(MN) \cap (CD) = L;$

Соединим в плоскости $(ABD_1)$ точки R и P; получим: $RP \cap AA_1=E;$

в плоскости $CC_1D_1$ проведём PL;

$PL \cap CC_1=F;$

Пятиугольник MNFPE — искомое сечение.

$AC \perp BD, \, MN \parallel AC \Rightarrow AC \perp BD;$

$MN \perp DD_1,$ т.к. $MN \in (ABC);$

по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $MN \perp (BDD_1).$

Так как $MN \in (MNF), \, \, (MNF) \perp (BDD_1)$ по признаку перпендикулярности плоскости

б) Найдём площадь сечения

Пусть AB = 1.

Воспользуемся формулой прямоугольной проекции фигуры

$\varphi$ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции;

AMNCD — проекция MNFPF на плоскость (ABC);

$\displaystyle S_{AMNCD}=S_{ABCD}-S_{\triangle MBN} = (1 - \frac{1}{8}) \cdot S_{ABCD} = \frac{7}{8}.$

Пусть $K = MN \cap BD;$

Рассмотрим $\triangle KPD;$

$DK \perp MN,$

$PK \perp MN$ по теореме о трёх перпендикулярах

$\varphi = \angle PKD$ — это угол между плоскостями $(MNF)$ и $(ABC)$ по определению угла между плоскостями.

$\displaystyle tg \, \varphi = \frac{PD}{DK} = \frac{5 \cdot DD_1}{7} : (\frac{3}{4} \cdot \sqrt2 BD) =$

$\displaystyle = \frac{5 \cdot 4}{3 \cdot 7 \cdot \sqrt2} = \frac{20}{21 \cdot \sqrt2};$

Применим формулу $\displaystyle 1+ tg^2 \varphi = \frac{1}{cos^ \varphi}$

$\displaystyle 1+ (\frac{20}{21 \sqrt 2})^2 = 1+ \frac{200}{441} = \frac{641}{441} = \frac{1}{cos^ \varphi}$

$\displaystyle cos^2 \varphi = \frac{441}{641}; \, \, \, cos \varphi = \frac{21}{\sqrt{641}}$

$\displaystyle S_{MNFPE} = \frac{S_{AMNCD}}{cos \, \varphi} = \frac{7 \cdot \sqrt{641}}{8 \cdot 21} = \frac{\sqrt{641}}{24}$

Ответ

$\displaystyle \frac{\sqrt{641}}{24}$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 14. Решение» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 31.03.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 14. Решение

Это полезно