previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 15. Решение

Условие задачи

Решите неравенство \displaystyle \frac{{{\log }_7 12\ }}{{{\log }_7 \left(x^2-9\right)\ }}\ge \frac{{{\log }_5 \left(x^2+8x+12\right)\ }}{{{\log }_5 \left(x^2-9\right)\ }}

Решение

ОДЗ:
\left\{ \begin{array}{c}x^2-9\, \textgreater \,0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ x^2-9\ne 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ x^2+8x+12\, \textgreater \,0 \end{array}\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x^2-9\, \textgreater \,0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ x^2-9\ne 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ \left(x+6\right)\left(x+2\right)\, \textgreater \,0 \end{array}\right.\right.

x^2+8x+12=0

D=64-48=16,\ \sqrt{D}=4\Longrightarrow \left[ \begin{array}{c}x_1=-6 \\ x_2=-2 \end{array}\right.

Решая систему, находим ОДЗ: x\in \left(-\infty ;-6\right)\cup \left(3;\ \sqrt{10}\right)

{{\log }_{x^2-9} 12\ }\ge {{\log }_{x^2-9} \left(x^2+8x+12\right)\ }

{{\log }_{x^2-9} 12\ }-{{\log }_{x^2-9} \left(x^2+8x+12\right)\ }\ge 0

{{\log }_{x^2-9} \left(x^2+8x+12\right)\ }-{{\log }_{x^2-9} 12\ }\le 0

Множитель вида {{log}_h f-{{\log }_h g\ }\ } заменим на выражение \left(h-1\right)\left(f-g\right){  .\ }

Получаем равносильное неравенство

\left(x^2-10\right)\left(x^2+8x\right)\le 0

\left(x-\sqrt{10}\right)\left(x+\sqrt{10}\right)x\left(x+8\right)\le 0

Совместим с ОДЗ:

Получим: x\in \left[-8;\left.-6\right)\right.\cup \left(3;\ \sqrt{10}\right)

Ответ

x\in \left[-8;\left.-6\right)\right.\cup \left(3;\ \sqrt{10}\right)