Условие задачи
Решите неравенство \(\displaystyle \frac{{{\log }_7 12\ }}{{{\log }_7 \left(x^2-9\right)\ }}\ge \frac{{{\log }_5 \left(x^2+8x+12\right)\ }}{{{\log }_5 \left(x^2-9\right)\ }}\)
Решение
ОДЗ:
\(\left\{ \begin{array}{c}
x^2-9\, \textgreater \,0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
x^2-9\ne 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
x^2+8x+12\, \textgreater \,0 \end{array}
\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x^2-9\, \textgreater \,0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
x^2-9\ne 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
\left(x+6\right)\left(x+2\right)\, \textgreater \,0 \end{array}
\right.\right.\)
\(x^2+8x+12=0\)
\(D=64-48=16,\ \sqrt{D}=4\Longrightarrow \left[ \begin{array}{c}
x_1=-6 \\
x_2=-2 \end{array}
\right.\)
Решая систему, находим ОДЗ: \(x\in \left(-\infty ;-6\right)\cup \left(3;\ \sqrt{10}\right)\)
\({{\log }_{x^2-9} 12\ }\ge {{\log }_{x^2-9} \left(x^2+8x+12\right)\ }\)
\({{\log }_{x^2-9} 12\ }-{{\log }_{x^2-9} \left(x^2+8x+12\right)\ }\ge 0\)
\({{\log }_{x^2-9} \left(x^2+8x+12\right)\ }-{{\log }_{x^2-9} 12\ }\le 0\)
Множитель вида \({{log}_h f-{{\log }_h g\ }\ }\) заменим на выражение \(\left(h-1\right)\left(f-g\right){ .\ }\)
Получаем равносильное неравенство
\(\left(x^2-10\right)\left(x^2+8x\right)\le 0\)
\(\left(x-\sqrt{10}\right)\left(x+\sqrt{10}\right)x\left(x+8\right)\le 0\)
Совместим с ОДЗ:
Получим: \(x\in \left[-8;\left.-6\right)\right.\cup \left(3;\ \sqrt{10}\right)\)
Ответ
\(x\in \left[-8;\left.-6\right)\right.\cup \left(3;\ \sqrt{10}\right)\)
