previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 16. Решение

 

Условие задачи

Дмитрий Мухин

B прямоугольном треугольнике ABC угол C - прямой. Точка O - центр вписанной окружности, точка P - центр окружности \omega, касающейся гипотенузы AB и продолжений катетов CB и CA.

а) докажите, что OP=\sqrt{2}AB.

б) найдите радиус \omega, если радиус вписанной окружности равен 1, а длина отрезка AB равна 6

 

Решение

а) Докажем, что OP = \sqrt2 AB.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла.

Пусть \omega - вневписанная окружность, \omega - вписанная в \triangle ABC

Тогда CP - биссектриса угла C, O \in CP.

Проведём перпендикуляры

PE \perp (BC), \, \, ON \perp (BC),

PF \perp (AC), \, \, OL \perp (AC).

ONCL- квадрат, т.к. LC = \angle L = \angle N = 90^\circ.

Аналогично, PFCE - квадрат,

PE = PF = R.

Для окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

\displaystyle r = \frac{a+b+c}{2}.

Докажем, что OL = ON = CN = CL = r. Пусть AC = b, \, BC=a.

Тогда AL = b - r, \, BN = a - r.

Пусть T - точка касания

AT = AL = b - r, \, BT = BN = a -r;

AT + BT = AB = a -r +b -r =c, отсюда \displaystyle c = \frac{a+b-c}{2}.

Аналогично, найдём радиус окружности \omega.

Пусть M - точка касания \omega и AB;

PFCE - квадрат, CE = a+BE=R;

CF = b + AF = R;

CE + CF = a+ b+BE+AF=2R;

BM = BE; \, AF = AM; \, a + b + c = 2R, отсюда

\displaystyle R = \frac{a+b+c}{2}.

Далее, CP = R\sqrt{2}, \, CO = r \sqrt2,

\displaystyle OP = CP - CO = (R-r) \cdot \sqrt2 = \sqrt2 (\frac{a+b+c}{2}-\frac{a+b-c}{2}) = c\sqrt2

б) Найдём \omega, если r=1, \, AB = c = 6.

OP = 6\sqrt2; \, OC = \sqrt2, \, CP = OP+OC = 7 \sqrt2,

\displaystyle R = \frac{CP}{\sqrt2} = 7

 

Ответ

7