Условие задачи
Дмитрий Мухин
B прямоугольном треугольнике ABC угол C - прямой. Точка O - центр вписанной окружности, точка P - центр окружности касающейся гипотенузы AB и продолжений катетов CB и CA.
а) докажите, что
б) найдите радиус если радиус вписанной окружности равен 1, а длина отрезка AB равна 6
Решение
а) Докажем, что
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла.
Пусть - вневписанная окружность,
- вписанная в
Тогда CP - биссектриса угла C,
Проведём перпендикуляры
ONCL- квадрат, т.к.
Аналогично, PFCE - квадрат,
PE = PF = R.
Для окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
Докажем, что Пусть
Тогда
Пусть T - точка касания
отсюда
Аналогично, найдём радиус окружности
Пусть M - точка касания и
PFCE - квадрат,
отсюда
Далее,
б) Найдём если
Ответ
7