Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 16. Решение

Условие задачи

Дмитрий Мухин

B прямоугольном треугольнике ABC угол C - прямой. Точка O - центр вписанной окружности, точка P - центр окружности $\omega,$ касающейся гипотенузы AB и продолжений катетов CB и CA.

а) докажите, что $OP=\sqrt{2}AB.$

б) найдите радиус $\omega,$ если радиус вписанной окружности равен 1, а длина отрезка AB равна 6

Решение

а) Докажем, что $OP = \sqrt2 AB.$

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла.

Пусть $\omega$ - вневписанная окружность, $\omega$ - вписанная в $\triangle ABC$

Тогда CP - биссектриса угла C, $O \in CP.$

Проведём перпендикуляры

$PE \perp (BC), \, \, ON \perp (BC),$

$PF \perp (AC), \, \, OL \perp (AC).$

ONCL- квадрат, т.к. $LC = \angle L = \angle N = 90^\circ.$

Аналогично, PFCE - квадрат,

PE = PF = R.

Для окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

$\displaystyle r = \frac{a+b+c}{2}.$

Докажем, что $OL = ON = CN = CL = r.$ Пусть $AC = b, \, BC=a.$

Тогда $AL = b - r, \, BN = a - r.$

Пусть T - точка касания

$AT = AL = b - r, \, BT = BN = a -r;$

$AT + BT = AB = a -r +b -r =c,$ отсюда $\displaystyle c = \frac{a+b-c}{2}.$

Аналогично, найдём радиус окружности $\omega.$

Пусть M - точка касания $\omega$ и $AB;$

PFCE - квадрат, $CE = a+BE=R;$

$CF = b + AF = R;$

$CE + CF = a+ b+BE+AF=2R;$

$BM = BE; \, AF = AM; \, a + b + c = 2R,$ отсюда

$\displaystyle R = \frac{a+b+c}{2}.$

Далее, $CP = R\sqrt{2}, \, CO = r \sqrt2,$

$\displaystyle OP = CP - CO = (R-r) \cdot \sqrt2 = \sqrt2 (\frac{a+b+c}{2}-\frac{a+b-c}{2}) = c\sqrt2$

б) Найдём $\omega,$ если $r=1, \, AB = c = 6.$

$OP = 6\sqrt2; \, OC = \sqrt2, \, CP = OP+OC = 7 \sqrt2,$

$\displaystyle R = \frac{CP}{\sqrt2} = 7$

Ответ

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 16. Решение» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 28.09.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 16. Решение

Это полезно