previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 17. Решение

 

Условие задачи

От пристани оторвалась баржа и поплыла вниз по течению, скорость которого равна v км/ч. Когда баржа проплыла 3 км, от пристани вдогонку за ней отплыл катер, скорость которого в стоячей воде равна 9 км/ч. Катер догнал баржу и отбуксировал ее назад на пристань со скоростью 4 км/ч.

а) Через сколько времени баржа была возвращена на пристань?

б) При какой скорости v это время было наименьшим?

 

Решение

Составим таблицу:

а)

скорость время расстояние
баржа, до отправления катера v \displaystyle \frac{3}{v} 3
баржа, после отправления катера v \displaystyle \frac{x}{v} x
катер догоняет баржу 9+v \displaystyle \frac{3+x}{9+v} 3+x
вместе плывут обратно 4 \displaystyle \frac{3+x}{4} 3+x

По условию, после отправления катера прошло время \displaystyle \frac{x}{v} (баржа проплыла расстояние x со скоростью v), и это время равно \displaystyle \frac{3+x}{9+v} (катер прошёл 3+x или со скоростью 9+v).

\displaystyle \frac{x}{v} = \frac{3+x}{9+v}

9x + 9v = 3v+ xv, отсюда 3x=v;

\displaystyle \frac{x}{v} = \frac{1}{3} часа

После отправления катера баржа продолжает плыть 3 часа. Общее время плавания баржи:

\displaystyle \frac{3}{v} + \frac{x}{v} + \frac{3+x}{4} = t(v)

подставив \displaystyle x = \frac{v}{3}, получим

\displaystyle t(v) = \frac{3}{v} + \frac{1}{3} + \frac{3+\frac{v}{3}}{4} = \frac{3}{v} + \frac{1}{3} + \frac{9+v}{12}.

Это ответ в пункте (а):

\displaystyle t = \frac{v^2 + 13v +36}{12v}

б) Найдём наименьшее значение функции

\displaystyle t(v) = \frac{3}{v} + \frac{1}{3} + \frac{9+v}{12}

\displaystyle t

\displaystyle t

v = 6 — точка минимума функции t(v), при v=6 производная t меняет знак с "-" на "+".

 

Ответ

6