previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 17. Решение

 

Условие задачи

От пристани оторвалась баржа и поплыла вниз по течению, скорость которого равна v км/ч. Когда баржа проплыла 3 км, от пристани вдогонку за ней отплыл катер, скорость которого в стоячей воде равна 9 км/ч. Катер догнал баржу и отбуксировал ее назад на пристань со скоростью 4 км/ч.

а) Через сколько времени баржа была возвращена на пристань?

б) При какой скорости v это время было наименьшим?

 

Решение

Составим таблицу:

а)

скорость время расстояние
баржа, до отправления катера v \(\displaystyle \frac{3}{v}\) 3
баржа, после отправления катера v \(\displaystyle \frac{x}{v}\) x
катер догоняет баржу 9+v \(\displaystyle \frac{3+x}{9+v}\) 3+x
вместе плывут обратно 4 \(\displaystyle \frac{3+x}{4}\) 3+x

По условию, после отправления катера прошло время \(\displaystyle \frac{x}{v}\) (баржа проплыла расстояние x со скоростью v), и это время равно \(\displaystyle \frac{3+x}{9+v}\) (катер прошёл \(3+x\) или со скоростью \(9+v\)).

\(\displaystyle \frac{x}{v} = \frac{3+x}{9+v}\)

\(9x + 9v = 3v+ xv,\) отсюда \(3x=v;\)

\( \displaystyle \frac{x}{v} = \frac{1}{3}\) часа

После отправления катера баржа продолжает плыть 3 часа. Общее время плавания баржи:

\( \displaystyle \frac{3}{v} + \frac{x}{v} + \frac{3+x}{4} = t(v) \)

подставив \( \displaystyle x = \frac{v}{3},\) получим

\(\displaystyle t(v) = \frac{3}{v} + \frac{1}{3} + \frac{3+\frac{v}{3}}{4} = \frac{3}{v} + \frac{1}{3} + \frac{9+v}{12}.\)

Это ответ в пункте (а):

\( \displaystyle t = \frac{v^2 + 13v +36}{12v}\)

б) Найдём наименьшее значение функции

\(\displaystyle t(v) = \frac{3}{v} + \frac{1}{3} + \frac{9+v}{12}\)

\(\displaystyle t'(v) = \frac{1}{12} - \frac{3}{v^2}\)

\(\displaystyle t'(v) = 0; \, \, \frac{v^2 -36}{12v^2} = 0,\)

\(v = 6\) — точка минимума функции \(t(v),\) при \(v=6\) производная \(t'(v)\) меняет знак с "-" на "+".

 

Ответ

6