Условие задачи
От пристани оторвалась баржа и поплыла вниз по течению, скорость которого равна v км/ч. Когда баржа проплыла 3 км, от пристани вдогонку за ней отплыл катер, скорость которого в стоячей воде равна 9 км/ч. Катер догнал баржу и отбуксировал ее назад на пристань со скоростью 4 км/ч.
а) Через сколько времени баржа была возвращена на пристань?
б) При какой скорости v это время было наименьшим?
Решение
Составим таблицу:
а)
| скорость | время | расстояние | |
| баржа, до отправления катера | v | \(\displaystyle \frac{3}{v}\) | 3 |
| баржа, после отправления катера | v | \(\displaystyle \frac{x}{v}\) | x |
| катер догоняет баржу | 9+v | \(\displaystyle \frac{3+x}{9+v}\) | 3+x |
| вместе плывут обратно | 4 | \(\displaystyle \frac{3+x}{4}\) | 3+x |
По условию, после отправления катера прошло время \(\displaystyle \frac{x}{v}\) (баржа проплыла расстояние x со скоростью v), и это время равно \(\displaystyle \frac{3+x}{9+v}\) (катер прошёл \(3+x\) или со скоростью \(9+v\)).
\(\displaystyle \frac{x}{v} = \frac{3+x}{9+v}\)
\(9x + 9v = 3v+ xv,\) отсюда \(3x=v;\)
\( \displaystyle \frac{x}{v} = \frac{1}{3}\) часа
После отправления катера баржа продолжает плыть 3 часа. Общее время плавания баржи:
\( \displaystyle \frac{3}{v} + \frac{x}{v} + \frac{3+x}{4} = t(v) \)
подставив \( \displaystyle x = \frac{v}{3},\) получим
\(\displaystyle t(v) = \frac{3}{v} + \frac{1}{3} + \frac{3+\frac{v}{3}}{4} = \frac{3}{v} + \frac{1}{3} + \frac{9+v}{12}.\)
Это ответ в пункте (а):
\( \displaystyle t = \frac{v^2 + 13v +36}{12v}\)
б) Найдём наименьшее значение функции
\(\displaystyle t(v) = \frac{3}{v} + \frac{1}{3} + \frac{9+v}{12}\)
\(\displaystyle t'(v) = \frac{1}{12} - \frac{3}{v^2}\)
\(\displaystyle t'(v) = 0; \, \, \frac{v^2 -36}{12v^2} = 0,\)
\(v = 6\) — точка минимума функции \(t(v),\) при \(v=6\) производная \(t'(v)\) меняет знак с "-" на "+".
Ответ
6
