Условие задачи
Михаил Гуров.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решение
Исходную систему перепишем в следующем виде
Введем замену тогда последняя система примет вид
Ограничение на решения системы имеет вид Это означает, что все решения системы (1) (если они есть) должны лежать строго выше прямой
Совокупность
определяет на плоскости Oty при правую полуокружность радиуса 1 с центром в точке (0; 0) и луч, лежащий на прямой
.
Уравнение задает на плоскости Oty при
вращающийся луч, выходящий из точки (0; 2).
Поскольку то исходная система имеет ровно ровно 4 различных решения, когда система (1) имеет ровно два различных решения при
Пусть – значение параметра a, при котором прямая
проходит через точку пересечения правой полуокружности радиуса 1 с центром в точке (0; 0) с прямой
(эта точка имеет координаты
);
– значение параметра a, при котором прямая
проходит через точку пересечения правой полуокружности радиуса 1 с центром в точке (0; 0) с прямой
(эта точка имеет координаты (1; 0));
– значение параметра a, при котором прямая
касается правой полуокружности радиуса 1 с центром в точке (0; 0).
Очевидно, что ответ имеет следующий вид:
Значение найдем из уравнения
Откуда
.
Значение найдем из уравнения
Откуда
Значение параметра достигается, когда окружность
(а именно правая полуокружность этой окружности) имеет с прямой
, ровно одну общую точку, то есть когда дискриминант D квадратного уравнения
равен нулю. Таким образом,
Откуда
Ответ
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 18. Решение» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена: 16.03.2023