Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 18. Решение

Условие задачи

Михаил Гуров.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$\left\{ \begin{array}{c}\left(x^4+y^2-1\right)log_2(x^2+y)=0, \\y=ax^2+2 \end{array}\right.$ имеет ровно четыре различных решения.

Решение

Исходную систему перепишем в следующем виде

$\left\{\begin{matrix} \left[ \begin{gathered} x^4+y^2-1=0 \\ log_2(x^2+y)=0 \\ \end{gathered} \right.\\ y=ax^2+2 \\ x^2+y \, \textgreater \, 0 \end{matrix}\right.$

Введем замену $t = x^2 \geq 0,$ тогда последняя система примет вид

$\left\{\begin{matrix} \left[ \begin{gathered} t^2+y^2=1 \\ y=1-t \\ \end{gathered} \right.\\ y=at+2 \\ y \, \textgreater \, -t \end{matrix}\right.$

Ограничение на решения системы имеет вид $y \, \textgreater \, -t.$ Это означает, что все решения системы (1) (если они есть) должны лежать строго выше прямой $y = -t.$

Совокупность

$\left[ \begin{gathered} t^2+y^2=1 \\ y=1-t \\ \end{gathered} \right.$

определяет на плоскости Oty при $t \geq 0$ правую полуокружность радиуса 1 с центром в точке (0; 0) и луч, лежащий на прямой $y=1-t$ .

Уравнение $y = at + 2$ задает на плоскости Oty при $t \, \textgreater \, 0$ вращающийся луч, выходящий из точки (0; 2).

Поскольку $t = x^2,$ то исходная система имеет ровно ровно 4 различных решения, когда система (1) имеет ровно два различных решения при $t \, \textgreater \, 0.$

Пусть $a_1$ – значение параметра a, при котором прямая $y = at + 2$ проходит через точку пересечения правой полуокружности радиуса 1 с центром в точке (0; 0) с прямой $y = -t$ (эта точка имеет координаты $\displaystyle (\frac{\sqrt2}{2}; - \frac{\sqrt2}{2}$ ); $a_2$ – значение параметра a, при котором прямая $y = at + 2$ проходит через точку пересечения правой полуокружности радиуса 1 с центром в точке (0; 0) с прямой $y = -t + 1$ (эта точка имеет координаты (1; 0)); $a_3$ – значение параметра a, при котором прямая $y = at + 2$ касается правой полуокружности радиуса 1 с центром в точке (0; 0).

Очевидно, что ответ имеет следующий вид: $a \in (-\infty; a_1] \cup {a_2} \cup {a_3}.$

Значение $a_1$ найдем из уравнения $\displaystyle - \frac{\sqrt2}{2} = a_1. \, \, \, \frac{\sqrt2}{2}+2.$ Откуда $a_1= -(2\sqrt2 +1)$ .

Значение $a_2$ найдем из уравнения $0 = a_2 \cdot 1 + 2.$ Откуда $a_2 = -2.$

Значение параметра $a_3$ достигается, когда окружность $y^2+t^2=1$ (а именно правая полуокружность этой окружности) имеет с прямой $y = at + 2$ , ровно одну общую точку, то есть когда дискриминант D квадратного уравнения $(at+2)^2+t^2=1$ равен нулю. Таким образом, $D=(4a)^2-12(a+a^2)=0.$ Откуда $a_3 = - \sqrt3$

Ответ

$a \in \left(-\infty ;\ - \left (2\sqrt{2}+1 \right )\right] \cup \left \{ -2 \right \} \cup \left \{ -\sqrt3 \right \}.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 18. Решение» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 16.03.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 18. Решение

Это полезно