previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 3 Задание 18. Решение

 

Условие задачи

Михаил Гуров.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

\left\{ \begin{array}{c}\left(x^4+y^2-1\right)log_2(x^2+y)=0, \\y=ax^2+2 \end{array}\right. имеет ровно четыре различных решения.

 

Решение

Исходную систему перепишем в следующем виде

\left\{\begin{matrix} \left[ \begin{gathered} x^4+y^2-1=0 \\ log_2(x^2+y)=0 \\ \end{gathered} \right.\\ y=ax^2+2 \\ x^2+y \, \textgreater \, 0 \end{matrix}\right.

Введем замену t = x^2 \geq 0, тогда последняя система примет вид

\left\{\begin{matrix} \left[ \begin{gathered} t^2+y^2=1 \\ y=1-t \\ \end{gathered} \right.\\ y=at+2 \\ y \, \textgreater \, -t \end{matrix}\right.

Ограничение на решения системы имеет вид y \, \textgreater \, -t. Это означает, что все решения системы (1) (если они есть) должны лежать строго выше прямой y = -t.

Совокупность

\left[ \begin{gathered} t^2+y^2=1 \\ y=1-t \\ \end{gathered} \right.

определяет на плоскости Oty при t \geq 0 правую полуокружность радиуса 1 с центром в точке (0; 0) и луч, лежащий на прямой y=1-t.

Уравнение y = at + 2 задает на плоскости Oty при t \, \textgreater \, 0 вращающийся луч, выходящий из точки (0; 2).

Поскольку t = x^2, то исходная система имеет ровно ровно 4 различных решения, когда система (1) имеет ровно два различных решения при t \, \textgreater \, 0.

Пусть a_1 – значение параметра a, при котором прямая y = at + 2 проходит через точку пересечения правой полуокружности радиуса 1 с центром в точке (0; 0) с прямой y = -t (эта точка имеет координаты \displaystyle (\frac{\sqrt2}{2}; - \frac{\sqrt2}{2}); a_2 – значение параметра a, при котором прямая y = at + 2 проходит через точку пересечения правой полуокружности радиуса 1 с центром в точке (0; 0) с прямой y = -t + 1 (эта точка имеет координаты (1; 0)); a_3 – значение параметра a, при котором прямая y = at + 2 касается правой полуокружности радиуса 1 с центром в точке (0; 0).

Очевидно, что ответ имеет следующий вид: a \in (-\infty; a_1] \cup {a_2} \cup {a_3}.

Значение a_1 найдем из уравнения \displaystyle - \frac{\sqrt2}{2} = a_1. \, \, \, \frac{\sqrt2}{2}+2. Откуда a_1= -(2\sqrt2 +1).

Значение a_2 найдем из уравнения 0 = a_2 \cdot 1 + 2. Откуда a_2 = -2.

Значение параметра a_3 достигается, когда окружность y^2+t^2=1 (а именно правая полуокружность этой окружности) имеет с прямой y = at + 2, ровно одну общую точку, то есть когда дискриминант D квадратного уравнения (at+2)^2+t^2=1 равен нулю. Таким образом, D=(4a)^2-12(a+a^2)=0. Откуда a_3 = - \sqrt3

Ответ

a \in \left(-\infty ;\ - \left (2\sqrt{2}+1  \right )\right] \cup \left \{ -2 \right \} \cup \left \{ -\sqrt3 \right \}.