Условие задачи
Михаил Гуров.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
\(
\left\{ \begin{array}{c}
\left(x^4+y^2-1\right)log_2(x^2+y)=0, \\
y=ax^2+2 \end{array}
\right.
\) имеет ровно четыре различных решения.
Решение
Исходную систему перепишем в следующем виде
\(\left\{\begin{matrix} \left[ \begin{gathered} x^4+y^2-1=0 \\ log_2(x^2+y)=0 \\ \end{gathered} \right.\\ y=ax^2+2 \\ x^2+y \, \textgreater \, 0 \end{matrix}\right.\)
Введем замену \(t = x^2 \geq 0,\) тогда последняя система примет вид
\(\left\{\begin{matrix} \left[ \begin{gathered} t^2+y^2=1 \\ y=1-t \\ \end{gathered} \right.\\ y=at+2 \\ y \, \textgreater \, -t \end{matrix}\right.\)
Ограничение на решения системы имеет вид \(y \, \textgreater \, -t.\) Это означает, что все решения системы (1) (если они есть) должны лежать строго выше прямой \(y = -t.\)
Совокупность
\(\left[ \begin{gathered} t^2+y^2=1 \\ y=1-t \\ \end{gathered} \right.\)
определяет на плоскости Oty при \(t \geq 0\) правую полуокружность радиуса 1 с центром в точке (0; 0) и луч, лежащий на прямой \(y=1-t\).
Уравнение \(y = at + 2\) задает на плоскости Oty при \(t \, \textgreater \, 0\) вращающийся луч, выходящий из точки (0; 2).
Поскольку \(t = x^2,\) то исходная система имеет ровно ровно 4 различных решения, когда система (1) имеет ровно два различных решения при \(t \, \textgreater \, 0.\)
Пусть \(a_1\) – значение параметра a, при котором прямая \(y = at + 2\) проходит через точку пересечения правой полуокружности радиуса 1 с центром в точке (0; 0) с прямой \(y = -t\) (эта точка имеет координаты \( \displaystyle (\frac{\sqrt2}{2}; - \frac{\sqrt2}{2}\)); \(a_2\) – значение параметра a, при котором прямая \( y = at + 2 \) проходит через точку пересечения правой полуокружности радиуса 1 с центром в точке (0; 0) с прямой \(y = -t + 1\) (эта точка имеет координаты (1; 0)); \(a_3\) – значение параметра a, при котором прямая \(y = at + 2\) касается правой полуокружности радиуса 1 с центром в точке (0; 0).
Очевидно, что ответ имеет следующий вид: \(a \in (-\infty; a_1] \cup {a_2} \cup {a_3}.\)
Значение \(a_1\) найдем из уравнения \(\displaystyle - \frac{\sqrt2}{2} = a_1. \, \, \, \frac{\sqrt2}{2}+2.\) Откуда \(a_1= -(2\sqrt2 +1)\).
Значение \(a_2\) найдем из уравнения \(0 = a_2 \cdot 1 + 2. \) Откуда \(a_2 = -2.\)
Значение параметра \(a_3\) достигается, когда окружность \(y^2+t^2=1\) (а именно правая полуокружность этой окружности) имеет с прямой \(y = at + 2\), ровно одну общую точку, то есть когда дискриминант D квадратного уравнения \((at+2)^2+t^2=1\) равен нулю. Таким образом, \(D=(4a)^2-12(a+a^2)=0.\) Откуда \(a_3 = - \sqrt3\)
Ответ
\(a \in \left(-\infty ;\ - \left (2\sqrt{2}+1 \right )\right] \cup \left \{ -2 \right \} \cup \left \{ -\sqrt3 \right \}.\)
