Условие задачи
Антон Акимов
Назовём число \(\overline{ABCDE}\) домашним, если его десятичная запись состоит из пяти различных цифр таких, что \(A\, \textless \,B\, \textless \,C\, \textgreater \,D\, \textgreater \,E.\)
а) Запишите наименьшее домашнее число.
б) Запишите наибольшее домашнее число, кратное 9.
в) Сколько существует домашних чисел, кратных 2475?
Решение
а) Это число 12430. Меньших нет, поскольку наименьшие возможные A и B есть 1 и 2 соответственно, а наименьшее возможное C, для которого найдутся 4 меньшие его цифры, есть 4.
б) Это число 78930. Больших нет, поскольку наибольшие возможные A, B и C есть 7, 8 и 9 соответственно, а сумма цифр числа должна быть кратна 9. 7+8+9 = 24, набрать 12 и больше последними двумя цифрами не удастся, а набрать 3 можно только как 3+0 или 2+1.
в) Три числа. Заметим, что такие домашние числа могут кончаться либо на 50, либо на 75 (так как они обязаны делиться на 25). Перебирая в обоих случаях различные с, получаем с учётом признака делимости на 9 следующие домашние числа, кратные как 9, так и 25: 16875, 34875, 24975, 24750, 14850, 23850, 13950. Требование делимости на 11 оставляет три числа, это 14850, 24750, 34650.
Ответ
а) 12430
б) 78930
в) Три числа.
