Условие задачи
Найдите наименьшее значение функции \(y=3 cosx- \pi x+ \pi ^2\) на отрезке \([-2 \pi ; \pi ].\)
Решение
\(y = 3cos x - \pi x +\pi ^2, \, x \in [-2 \pi; \pi]\)
\(y_{min} = ?\)
\(y' (x) = -3 sin x - \pi,\)
\(y'=0; \, \, \, \, -3sinx= \pi,\)
\(\displaystyle sin x = - \frac{\pi}{3} \, \textless \, -1\) — нет решений.
Значит, производная не равна нулю для всех x;
\(y'(x) \ne 0.\)
Проверим знак производной: \(y'(x) \, \textless \, 0.\)
(для проверки возьмём \(x=0\))
\(y(x)\) — убывает, \(y_{min}(x) = y(\pi) = -3\)
Ответ
-3
