Условие задачи
а) Решите уравнение: \(\displaystyle \frac{1}{sinx} + \frac{1}{cosx} =2\sqrt 2\)
б) Найдите все корни уравнения на отрезке \([\displaystyle -\frac { \pi}{3}; \pi ]\)
Решение
\(\displaystyle \frac{1}{sin x} + \frac{1}{cos x} = 2\sqrt2\)
ОДЗ: \(\displaystyle \left\{\begin{gathered} sin \, x \ne 0\\ cos \, x \ne 0 \end{gathered}\right.\)
При выполнении этих условий:
\(cos x + sin x = 2\sqrt{2}sin x cos x\)
Замена \(sin x+cos x=z,\) тогда \(z^2 = 1+2sin x cos x,\)
\(2sin x cos x= z^2-1.\)
Получим:
\(z = \sqrt{2}(z^2-1)\)
\(\sqrt{2} \cdot z^2 - z - \sqrt{2} = 0\)
\(D = 1+4 \cdot 2 = 9;\)
\(\displaystyle z = \frac{1 \pm 3}{2\sqrt2};\)
\(\displaystyle \left[ \begin{gathered} z_1 = -\frac{1}{\sqrt2} \\ z_2 = \sqrt2 \\ \end{gathered} \right.\)
1) \(\displaystyle z = - \frac{1}{\sqrt2} = - \frac{\sqrt2}{2}\)
\(sin x+cos x= -\frac{\sqrt2}{2}\)
\(\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}sin x+ \frac{\sqrt2}{2} cos x = -\frac{1}{2}\)
Применим формулу косинуса разности
\(\displaystyle cos (x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2},\) отсюда
\(\displaystyle \left[ \begin{gathered} x_1 = \frac{11\pi}{12}+2\pi n \\ x_2=-\frac{5\pi}{12}+2\pi k \\ \end{gathered} \right. \, \, \, n, \, k \in Z\)
2) \(sin x + cos x =\sqrt2\)
\(\displaystyle \frac{\sqrt2}{2} sin x+ \frac{\sqrt2}{2} cos x = 1\)
\(\displaystyle cos (x - \frac{\pi}{4}) = 1\)
\(\displaystyle x - \frac{\pi}{4} = 2 \pi l; \, \, x_3 = \frac{\pi}{4} + 2 \pi l, \, l \in Z\)
б) Найдём корни на отрезке \(\displaystyle [-\frac{\pi}{3}; \pi]\) с помощью тригонометрического круга.
Отменим на единичной окружности отрезок \(\displaystyle [- \frac{\pi}{3}; \pi]\) и найденные серии решений.
Указанному отрезку принадлежат точки \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\) и \(\displaystyle \frac{11\pi}{12}.\)
заметим, что \(\displaystyle - \frac{5\pi}{12} \, \textless \, - \frac{\pi}{3},\) не входит в отрезок \(\displaystyle [-\frac{\pi}{3}; \pi].\)
Ответ
а) \(\displaystyle \left[ \begin{gathered} x = -\frac{5\pi}{12}+2\pi n \, \, n \in Z \\ x=\frac{11\pi}{12}+2\pi k \, \, k \in Z\\ x= \frac{\pi}{4}+2\pi m \, \, m \in Z \end{gathered} \right.\)
б) \(\displaystyle \frac{\pi}{4}; \, \frac{11 \pi}{12}.\)
