previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 4. Задание 13. Решение

 

Условие задачи

а) Решите уравнение: \displaystyle \frac{1}{sinx} + \frac{1}{cosx} =2\sqrt 2
б) Найдите все корни уравнения на отрезке [\displaystyle -\frac { \pi}{3}; \pi ]

 

Решение

\displaystyle \frac{1}{sin x} + \frac{1}{cos x} = 2\sqrt2

ОДЗ: \displaystyle \left\{\begin{gathered} sin \, x \ne 0\\ cos \, x \ne 0 \end{gathered}\right.

При выполнении этих условий:

cos x + sin x = 2\sqrt{2}sin x cos x

Замена sin x+cos x=z, тогда z^2 = 1+2sin x cos x,

2sin x cos x= z^2-1.

Получим:

z = \sqrt{2}(z^2-1)

\sqrt{2} \cdot z^2 - z - \sqrt{2} = 0

D = 1+4 \cdot 2 = 9;

\displaystyle z = \frac{1 \pm 3}{2\sqrt2};

\displaystyle \left[ \begin{gathered} z_1 = -\frac{1}{\sqrt2} \\ z_2 = \sqrt2 \\ \end{gathered} \right.

1) \displaystyle z = - \frac{1}{\sqrt2} = - \frac{\sqrt2}{2}

sin x+cos x= -\frac{\sqrt2}{2}

\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}sin x+ \frac{\sqrt2}{2} cos x = -\frac{1}{2}

Применим формулу косинуса разности

\displaystyle cos (x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}, отсюда

\displaystyle \left[ \begin{gathered} x_1 = \frac{11\pi}{12}+2\pi n \\ x_2=-\frac{5\pi}{12}+2\pi k \\ \end{gathered} \right. \, \, \, n, \, k \in Z

2) sin x + cos x =\sqrt2

\displaystyle \frac{\sqrt2}{2} sin x+ \frac{\sqrt2}{2} cos x = 1

\displaystyle cos (x - \frac{\pi}{4}) = 1

\displaystyle x - \frac{\pi}{4} = 2 \pi l; \, \, x_3 = \frac{\pi}{4} + 2 \pi l, \, l \in Z

б) Найдём корни на отрезке \displaystyle [-\frac{\pi}{3}; \pi] с помощью тригонометрического круга.

Отменим на единичной окружности отрезок \displaystyle [- \frac{\pi}{3}; \pi] и найденные серии решений.

Указанному отрезку принадлежат точки \displaystyle \frac{\pi}{4} и \displaystyle \frac{11\pi}{12}.

заметим, что \displaystyle - \frac{5\pi}{12} \, \textless \, - \frac{\pi}{3}, не входит в отрезок \displaystyle [-\frac{\pi}{3}; \pi].

 

Ответ

а) \displaystyle \left[ \begin{gathered} x = -\frac{5\pi}{12}+2\pi n \, \, n \in Z \\ x=\frac{11\pi}{12}+2\pi k \, \, k \in Z\\ x= \frac{\pi}{4}+2\pi m \, \, m \in Z \end{gathered} \right.

б) \displaystyle \frac{\pi}{4}; \, \frac{11 \pi}{12}.