Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 4. Задание 13. Решение

Условие задачи

а) Решите уравнение: $\displaystyle \frac{1}{sinx} + \frac{1}{cosx} =2\sqrt 2$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $[\displaystyle -\frac { \pi}{3}; \pi ]$

Решение

$\displaystyle \frac{1}{sin x} + \frac{1}{cos x} = 2\sqrt2$

ОДЗ: $\displaystyle \left\{\begin{gathered} sin \, x \ne 0\\ cos \, x \ne 0 \end{gathered}\right.$

При выполнении этих условий:

$cos x + sin x = 2\sqrt{2}sin x cos x$

Замена $sin x+cos x=z,$ тогда $z^2 = 1+2sin x cos x,$

$2sin x cos x= z^2-1.$

Получим:

$z = \sqrt{2}(z^2-1)$

$\sqrt{2} \cdot z^2 - z - \sqrt{2} = 0$

$D = 1+4 \cdot 2 = 9;$

$\displaystyle z = \frac{1 \pm 3}{2\sqrt2};$

$\displaystyle \left[ \begin{gathered} z_1 = -\frac{1}{\sqrt2} \\ z_2 = \sqrt2 \\ \end{gathered} \right.$

1) $\displaystyle z = - \frac{1}{\sqrt2} = - \frac{\sqrt2}{2}$

$sin x+cos x= -\frac{\sqrt2}{2}$

$\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}sin x+ \frac{\sqrt2}{2} cos x = -\frac{1}{2}$

Применим формулу косинуса разности

$\displaystyle cos (x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2},$ отсюда

$\displaystyle \left[ \begin{gathered} x_1 = \frac{11\pi}{12}+2\pi n \\ x_2=-\frac{5\pi}{12}+2\pi k \\ \end{gathered} \right. \, \, \, n, \, k \in Z$

2) $sin x + cos x =\sqrt2$

$\displaystyle \frac{\sqrt2}{2} sin x+ \frac{\sqrt2}{2} cos x = 1$

$\displaystyle cos (x - \frac{\pi}{4}) = 1$

$\displaystyle x - \frac{\pi}{4} = 2 \pi l; \, \, x_3 = \frac{\pi}{4} + 2 \pi l, \, l \in Z$

б) Найдём корни на отрезке $\displaystyle [-\frac{\pi}{3}; \pi]$ с помощью тригонометрического круга.

Отменим на единичной окружности отрезок $\displaystyle [- \frac{\pi}{3}; \pi]$ и найденные серии решений.

Указанному отрезку принадлежат точки $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ и $\displaystyle \frac{11\pi}{12}.$

заметим, что $\displaystyle - \frac{5\pi}{12} \, \textless \, - \frac{\pi}{3},$ не входит в отрезок $\displaystyle [-\frac{\pi}{3}; \pi].$

Ответ

а) $\displaystyle \left[ \begin{gathered} x = -\frac{5\pi}{12}+2\pi n \, \, n \in Z \\ x=\frac{11\pi}{12}+2\pi k \, \, k \in Z\\ x= \frac{\pi}{4}+2\pi m \, \, m \in Z \end{gathered} \right.$

б) $\displaystyle \frac{\pi}{4}; \, \frac{11 \pi}{12}.$

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 4. Задание 13. Решение

Это полезно