Условие задачи
Анна Малкова. В треугольной пирамиде SABC все плоские углы при вершине S – прямые, длины ребер SА, SВ и SС равны \(\sqrt {\sqrt 5+\sqrt 3} , \, \, \sqrt {\sqrt 5-\sqrt 3}\) и \(6\sqrt 2\) соответственно. Плоскость \(\alpha \) проходит через середины ребер SA, SC и ВС.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\) является прямоугольником.
б) Найдите объем пирамиды с вершиной S, основанием которой является сечение пирамиды SABC плоскостью \(\alpha .\)
Решение
SA = a, M — середина SA
SB = b, N — середина SC
SC = c, P — середина BC
а) \(\alpha = (MNK)\) — плоскость сечения, MN — средняя линия \(\triangle SAC:\)
\(\displaystyle \left.\begin{gathered} MN \parallel AC \Rightarrow MN \parallel (ABC); \\ \alpha \cup (ABC) = PK, \end{gathered}\right\} \Rightarrow PK \parallel MN\) по теореме о прямой и параллельной ей плоскости, тогда \(PK \parallel AC, \, \, PK\) — средняя линия \(\triangle ABC,\)
\(PK \parallel MN, \, PK = MN, \, MNPK\) — параллелограмм.
PN — средняя линия \(\triangle BSC, \, PN \parallel BS \Rightarrow\)
\(PN \perp (ASC) \Rightarrow PN \perp MN,\)
MNPK — прямоугольник.
б) \(V_{SMNPK} = 2 \cdot V_{SKMN},\) т.к.
\(S_{MNPK} = 2\cdot S_{\triangle KMN} ; \, \, KM \perp (SAC),\)
\(\displaystyle V_{SKMN} = \frac{1}{3} \cdot S_{BMN} \cdot KM = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2} \cdot ac \cdot \frac{1}{2}b = \frac{1}{48}abc;\)
\(\displaystyle V_{SMNPK} = \frac{1}{24}abc = \frac{1}{24} \cdot \sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3}};\)
\(\displaystyle 6\sqrt2 = \frac{1}{24} \cdot 6 \cdot \sqrt2 \cdot \sqrt{5-3} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}.\)
Ответ: 0,5
