Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 4. Задание 14. Решение

Условие задачи

Анна Малкова. В треугольной пирамиде SABC все плоские углы при вершине S – прямые, длины ребер SА, SВ и SС равны $\sqrt {\sqrt 5+\sqrt 3} , \, \, \sqrt {\sqrt 5-\sqrt 3}$ и $6\sqrt 2$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через середины ребер SA, SC и ВС.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является прямоугольником.
б) Найдите объем пирамиды с вершиной S, основанием которой является сечение пирамиды SABC плоскостью $\alpha .$

Решение

SA = a, M — середина SA
SB = b, N — середина SC
SC = c, P — середина BC

а) $\alpha = (MNK)$ — плоскость сечения, MN — средняя линия $\triangle SAC:$

$\displaystyle \left.\begin{gathered} MN \parallel AC \Rightarrow MN \parallel (ABC); \\ \alpha \cup (ABC) = PK, \end{gathered}\right\} \Rightarrow PK \parallel MN$ по теореме о прямой и параллельной ей плоскости, тогда $PK \parallel AC, \, \, PK$ — средняя линия $\triangle ABC,$

$PK \parallel MN, \, PK = MN, \, MNPK$ — параллелограмм.

PN — средняя линия $\triangle BSC, \, PN \parallel BS \Rightarrow$

$PN \perp (ASC) \Rightarrow PN \perp MN,$

MNPK — прямоугольник.

б) $V_{SMNPK} = 2 \cdot V_{SKMN},$ т.к.

$S_{MNPK} = 2\cdot S_{\triangle KMN} ; \, \, KM \perp (SAC),$

$\displaystyle V_{SKMN} = \frac{1}{3} \cdot S_{BMN} \cdot KM = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2} \cdot ac \cdot \frac{1}{2}b = \frac{1}{48}abc;$

$\displaystyle V_{SMNPK} = \frac{1}{24}abc = \frac{1}{24} \cdot \sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3}};$

$\displaystyle 6\sqrt2 = \frac{1}{24} \cdot 6 \cdot \sqrt2 \cdot \sqrt{5-3} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}.$

Ответ: 0,5

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 4. Задание 14. Решение

Это полезно