previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 4. Задание 15. Решение

Условие задачи

Решите неравенство: \(\sqrt {log_3x } + 2\sqrt {log_x3 } \geq 3\)

Решение

ОДЗ: \(\displaystyle \left\{\begin{gathered} x\, \textgreater \, 0\\ x \ne 1 \\ log_x 3 \, \textgreater \, 0 \end{gathered}\right.\)

\(\sqrt{log_3 x} + 2\sqrt{log_x 3}\geq 3\)

Замена: \(\sqrt{log_3 x} = t, \, t \, \textgreater \, 0, \) тогда

\(\displaystyle \sqrt{log_x 3} = \frac{1}{t},\)

\(\displaystyle t+ \frac{2}{t} \geq 3,\)

\((t-1)(t-2) \geq 0,\) отсюда \(\displaystyle \left[ \begin{gathered} t \geq 2 \\ t \leq 1 \\ \end{gathered} \right.\)

Вернёмся к переменной x.

\(\displaystyle \left[ \begin{gathered} 0 \, \textless \sqrt{log_3 x} \leq 1 \\ \sqrt{log_3 x} \geq 2 \\ \end{gathered} \right.\)

\(\displaystyle \left[ \begin{gathered} 1\, \textless x \leq 3 \\ x \geq 81 \\ \end{gathered} \right.\)

Ответ

\(x \in (1;3] \cup [81; + \infty ). \)