previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 4. Задание 15. Решение

Условие задачи

Решите неравенство: \sqrt {log_3x }  + 2\sqrt {log_x3 }   \geq  3

Решение

ОДЗ: \displaystyle \left\{\begin{gathered} x\, \textgreater \, 0\\ x \ne 1 \\ log_x 3 \, \textgreater \, 0 \end{gathered}\right.

\sqrt{log_3 x} + 2\sqrt{log_x 3}\geq 3

Замена: \sqrt{log_3 x} = t, \, t \, \textgreater \, 0, тогда

\displaystyle \sqrt{log_x 3} = \frac{1}{t},

\displaystyle t+ \frac{2}{t} \geq 3,

(t-1)(t-2) \geq 0, отсюда \displaystyle \left[ \begin{gathered} t \geq 2 \\ t \leq 1 \\ \end{gathered} \right.

Вернёмся к переменной x.

\displaystyle \left[ \begin{gathered} 0 \, \textless \sqrt{log_3 x} \leq 1 \\ \sqrt{log_3 x} \geq 2 \\ \end{gathered} \right.

\displaystyle \left[ \begin{gathered} 1\, \textless x \leq 3 \\ x \geq 81 \\ \end{gathered} \right.

Ответ

x \in (1;3] \cup  [81; + \infty   ).