Условие задачи
Антон Акимов В трапеции ABCD точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Известно, что AD = 14, CM = 5, AN = 5, а высота трапеции равна 8.
а) Докажите, что около трапеции ABCD нельзя описать окружность.
б) Известно, что \(AD \, \textgreater \, BC.\) Найдите площадь трапеции ABCD.
Решение
а) Предположим, что около трапеции ABCD окружность описать можно. Тогда эта трапеция является равнобедренной. Также является равнобедренной трапеция AMND. Диагонали равнобедренной трапеции равны: AN = MD. Таким образом, треугольник CMD равнобедренный: CM = MD = 5. Его медиана MN должна вследствие этого также являться высотой. Но это означает, что боковая сторона CD равнобедренной трапеции перпендикулярна её средней линии (и основаниям), чего быть не может. Полученное противоречие доказывает, что около трапеции ABCD нельзя описать окружность.
б) 
«Удвоим» отрезки CM и AN и получим точки E и F на продолжениях оснований трапеции AD и BC за точки A и C соответственно. Поскольку треугольники MCB и MEA, а также треугольники NFC и NAD равны, мы можем вместо площади искомой трапеции вычислять площадь равнобедренной трапеции FCEA. В ней нам известны боковые стороны FA = CE = 10, высота (она равна 8) и одно из оснований FC = 14. Проекции боковых сторон на большее основание равны (по теореме Пифагора) 6. В случае, если FC = AD есть большее основание, меньшее основание AE = 14 – 12 = 2 и площадь трапеции равна 64.
Ответ
б) 64
