previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 4. Задание 19. Решение

 

Условие задачи

В коробке находятся 13 красных и 17 белых фишек; есть также неограниченное число фишек того и другого цвета. Разрешается совершать в любом порядке и в любом количестве следующие действия:

1) Увеличить на 2 число красных фишек и одновременно уменьшить на 1 число белых,

2) Увеличить на 1 число красных фишек и одновременно увеличить на 2 число белых,

3) Уменьшить на 2 число красных фишек и одновременно увеличить на 1 число белых,

4) Уменьшить на 1 число красных фишек и одновременно уменьшить на 2 число белых,

а) Может ли в коробке в результате 8 действий остаться ровно 30 фишек?

б) Может ли в результате некоторого числа действий получиться 37 красных и 43 белых фишек?

в) Какое наименьшее число фишек может получиться?

 

Решение

а) Да, может; 2 раза каждое действие, так как действия 1 и 3; 2 и 4 взаимно-обратны.

Для решения пунктов б) и в) составим математическую модель.

Введём переменные:

сколько раз совершили каждое действие и как менялось число фишек.

сколько раз

красные

13

белые

17

1 x +2 -1
2 y +1 +2
3 z -2 +1
4 t -1 -2

Пусть после нескольких действий останется m красных фишек, n белых фишек.

\left\{\begin{gathered} 13+2x+y-2z-t=m\\17-x+2y+z-2t=n \end{gathered}\right.;

\left\{\begin{gathered} 13+2(x-z)+(y-t)=m\\17-(x-z)+2(y-t)=n \end{gathered}\right.;

Сделаем замену

x-z = a, \, y-t =b

\left\{\begin{matrix} 13+2a+b=m\\17-a+2b=n \end{matrix}\right.;

\left\{\begin{matrix} 2a+b=m-13\\-a+2b=n-17 \end{matrix}\right.;

Выразив из системы a и b, получим: \displaystyle a= \frac{2m-n-9}{5}

\displaystyle b=\frac{m+2n-47}{5}

б) предположим, что m = 37, n = 43.

Тогда \displaystyle a = \frac{2 \cdot 37 - 43 - 9 }{5} = \frac{22}{5} — невозможно, т.к. a = x - z — целое.

в) Предположим, что фишек не осталось, m = 0, n = 0. Получим: \displaystyle a = - \frac{9}{5}, \, b = - \frac{47}{5} — невозможно.

1 фишка может остаться.

Пусть m = 0, \, n = 1.

Тогда a = -2, \, b = -9 — целое

\left\{\begin{matrix} x-z=-2\\y-t=-9 \end{matrix}\right.; \, \, \left\{\begin{matrix} z=x+2\\y=y+9 \end{matrix}\right.

Пусть x = 0, \, y = 0, \, z= 2, \, t=9

получаем в результате 1 белую фишку

 

Ответ

а) Да, может. Каждое из действий нужно сделать ровно 2 раза.
б) Нет, не может.
в) 1 фишка.