Условие задачи
В коробке находятся 13 красных и 17 белых фишек; есть также неограниченное число фишек того и другого цвета. Разрешается совершать в любом порядке и в любом количестве следующие действия:
1) Увеличить на 2 число красных фишек и одновременно уменьшить на 1 число белых,
2) Увеличить на 1 число красных фишек и одновременно увеличить на 2 число белых,
3) Уменьшить на 2 число красных фишек и одновременно увеличить на 1 число белых,
4) Уменьшить на 1 число красных фишек и одновременно уменьшить на 2 число белых,
а) Может ли в коробке в результате 8 действий остаться ровно 30 фишек?
б) Может ли в результате некоторого числа действий получиться 37 красных и 43 белых фишек?
в) Какое наименьшее число фишек может получиться?
Решение
а) Да, может; 2 раза каждое действие, так как действия 1 и 3; 2 и 4 взаимно-обратны.
Для решения пунктов б) и в) составим математическую модель.
Введём переменные:
сколько раз совершили каждое действие и как менялось число фишек.
сколько раз |
красные 13 |
белые 17 |
|
1 | x | +2 | -1 |
2 | y | +1 | +2 |
3 | z | -2 | +1 |
4 | t | -1 | -2 |
Пусть после нескольких действий останется m красных фишек, n белых фишек.
\(\left\{\begin{gathered} 13+2x+y-2z-t=m\\17-x+2y+z-2t=n \end{gathered}\right.;\)
\(\left\{\begin{gathered} 13+2(x-z)+(y-t)=m\\17-(x-z)+2(y-t)=n \end{gathered}\right.;\)
Сделаем замену
\(x-z = a, \, y-t =b\)
\(\left\{\begin{matrix} 13+2a+b=m\\17-a+2b=n \end{matrix}\right.;\)
\(\left\{\begin{matrix} 2a+b=m-13\\-a+2b=n-17 \end{matrix}\right.;\)
Выразив из системы a и b, получим: \(\displaystyle a= \frac{2m-n-9}{5}\)
\(\displaystyle b=\frac{m+2n-47}{5}\)
б) предположим, что m = 37, n = 43.
Тогда \(\displaystyle a = \frac{2 \cdot 37 - 43 - 9 }{5} = \frac{22}{5}\) — невозможно, т.к. a = x - z — целое.
в) Предположим, что фишек не осталось, m = 0, n = 0. Получим: \(\displaystyle a = - \frac{9}{5}, \, b = - \frac{47}{5}\) — невозможно.
1 фишка может остаться.
Пусть \(m = 0, \, n = 1.\)
Тогда \(a = -2, \, b = -9\) — целое
\(\left\{\begin{matrix} x-z=-2\\y-t=-9 \end{matrix}\right.; \, \, \left\{\begin{matrix} z=x+2\\y=y+9 \end{matrix}\right.\)
Пусть \(x = 0, \, y = 0, \, z= 2, \, t=9\)
получаем в результате 1 белую фишку
Ответ
а) Да, может. Каждое из действий нужно сделать ровно 2 раза.
б) Нет, не может.
в) 1 фишка.