Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 4. Задание 19. Решение

Условие задачи

В коробке находятся 13 красных и 17 белых фишек; есть также неограниченное число фишек того и другого цвета. Разрешается совершать в любом порядке и в любом количестве следующие действия:

1) Увеличить на 2 число красных фишек и одновременно уменьшить на 1 число белых,

2) Увеличить на 1 число красных фишек и одновременно увеличить на 2 число белых,

3) Уменьшить на 2 число красных фишек и одновременно увеличить на 1 число белых,

4) Уменьшить на 1 число красных фишек и одновременно уменьшить на 2 число белых,

а) Может ли в коробке в результате 8 действий остаться ровно 30 фишек?

б) Может ли в результате некоторого числа действий получиться 37 красных и 43 белых фишек?

в) Какое наименьшее число фишек может получиться?

Решение

а) Да, может; 2 раза каждое действие, так как действия 1 и 3; 2 и 4 взаимно-обратны.

Для решения пунктов б) и в) составим математическую модель.

Введём переменные:

сколько раз совершили каждое действие и как менялось число фишек.

Пусть после нескольких действий останется m красных фишек, n белых фишек.

Сделаем замену

Выразив из системы a и b, получим:

б) предположим, что m = 37, n = 43.

Тогда — невозможно, т.к. a = x - z — целое.

в) Предположим, что фишек не осталось, m = 0, n = 0. Получим: — невозможно.

1 фишка может остаться.

Пусть

Тогда — целое

Пусть

получаем в результате 1 белую фишку

Ответ

а) Да, может. Каждое из действий нужно сделать ровно 2 раза.
б) Нет, не может.
в) 1 фишка.