previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 5. Задание 13. Решение

 

Условие задачи

а) Решите уравнение 5\sin x+12 \cos x =13

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle \left [ \frac{3 \pi}{2} ;3\pi\right]

 

Решение

а) 5sin x+12cosx=13

Решим уравнение методом введения дополнительного угла.

Разделим обе части уравнения на 13.

\displaystyle \frac{5}{13} sin x +\frac{12}{13}cos x=1

Заметим, что 13 = \sqrt{5^2+12^2}.

Рассмотрим угол \varphi, такой, что

\displaystyle cos \varphi = \frac{12}{13}, \, \, sin \varphi = \frac{5}{13}, \, \, \varphi \in [0; \frac{\pi}{2}].

\displaystyle cos^ \varphi + sin^ \varphi = \frac{144}{169} + \frac{25}{169} =1.

\displaystyle \varphi = arcsin \frac{5}{13}

Уравнение примет вид:

cos \varphi cos x + sin \varphi sin x =1

cos (\varphi -x )=1

x - \varphi = 2 \pi n, \, \, n \in Z

x = \varphi +2 \pi n,

\displaystyle x = arcsin \frac{5}{13} + 2\pi n, \, \, n \in Z.

б) Найдём корни уравнения на отрезке \displaystyle [\frac{3\pi}{2}; 3\pi] с помощью тригонометрического круга.

Отметим на тригонометрическом круге отрезок \displaystyle [\frac{3\pi}{2}; 3\pi] и найденную серию решений. Видим, что указанному отрезку принадлежит \displaystyle x = arcsin \frac{5}{13}+2 \pi n

 

Ответ

а) \displaystyle arcsin \frac{5}{13}+2 \pi n, \, n \in Z

б) \displaystyle arcsin \frac{5}{13}+ 2\pi