previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 5. Задание 13. Решение

 

Условие задачи

а) Решите уравнение \( 5\sin x+12 \cos x =13\)

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку \( \displaystyle \left [ \frac{3 \pi}{2} ;3\pi\right]\)

 

Решение

а) 5sin x+12cosx=13

Решим уравнение методом введения дополнительного угла.

Разделим обе части уравнения на 13.

\(\displaystyle \frac{5}{13} sin x +\frac{12}{13}cos x=1\)

Заметим, что \(13 = \sqrt{5^2+12^2}.\)

Рассмотрим угол \(\varphi,\) такой, что

\(\displaystyle cos \varphi = \frac{12}{13}, \, \, sin \varphi = \frac{5}{13}, \, \, \varphi \in [0; \frac{\pi}{2}].\)

\(\displaystyle cos^ \varphi + sin^ \varphi = \frac{144}{169} + \frac{25}{169} =1.\)

\(\displaystyle \varphi = arcsin \frac{5}{13}\)

Уравнение примет вид:

\(cos \varphi cos x + sin \varphi sin x =1\)

\(cos (\varphi -x )=1\)

\(x - \varphi = 2 \pi n, \, \, n \in Z\)

\(x = \varphi +2 \pi n,\)

\(\displaystyle x = arcsin \frac{5}{13} + 2\pi n, \, \, n \in Z.\)

б) Найдём корни уравнения на отрезке \(\displaystyle [\frac{3\pi}{2}; 3\pi]\) с помощью тригонометрического круга.

Отметим на тригонометрическом круге отрезок \(\displaystyle [\frac{3\pi}{2}; 3\pi]\) и найденную серию решений. Видим, что указанному отрезку принадлежит \(\displaystyle x = arcsin \frac{5}{13}+2 \pi n\)

 

Ответ

а) \(\displaystyle arcsin \frac{5}{13}+2 \pi n, \, n \in Z\)

б) \(\displaystyle arcsin \frac{5}{13}+ 2\pi\)