Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 5. Задание 13. Решение

Условие задачи

а) Решите уравнение $5\sin x+12 \cos x =13$

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left [ \frac{3 \pi}{2} ;3\pi\right]$

Решение

а) 5sin x+12cosx=13

Решим уравнение методом введения дополнительного угла.

Разделим обе части уравнения на 13.

$\displaystyle \frac{5}{13} sin x +\frac{12}{13}cos x=1$

Заметим, что $13 = \sqrt{5^2+12^2}.$

Рассмотрим угол $\varphi,$ такой, что

$\displaystyle cos \varphi = \frac{12}{13}, \, \, sin \varphi = \frac{5}{13}, \, \, \varphi \in [0; \frac{\pi}{2}].$

$\displaystyle cos^ \varphi + sin^ \varphi = \frac{144}{169} + \frac{25}{169} =1.$

$\displaystyle \varphi = arcsin \frac{5}{13}$

Уравнение примет вид:

$cos \varphi cos x + sin \varphi sin x =1$

$cos (\varphi -x )=1$

$x - \varphi = 2 \pi n, \, \, n \in Z$

$x = \varphi +2 \pi n,$

$\displaystyle x = arcsin \frac{5}{13} + 2\pi n, \, \, n \in Z.$

б) Найдём корни уравнения на отрезке $\displaystyle [\frac{3\pi}{2}; 3\pi]$ с помощью тригонометрического круга.

Отметим на тригонометрическом круге отрезок $\displaystyle [\frac{3\pi}{2}; 3\pi]$ и найденную серию решений. Видим, что указанному отрезку принадлежит $\displaystyle x = arcsin \frac{5}{13}+2 \pi n$

Ответ

а) $\displaystyle arcsin \frac{5}{13}+2 \pi n, \, n \in Z$

б) $\displaystyle arcsin \frac{5}{13}+ 2\pi$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 5. Задание 13. Решение» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 24.03.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 5. Задание 13. Решение

Это полезно