Условие задачи
а) Решите уравнение \( 5\sin x+12 \cos x =13\)
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку \( \displaystyle \left [ \frac{3 \pi}{2} ;3\pi\right]\)
Решение
а) 5sin x+12cosx=13
Решим уравнение методом введения дополнительного угла.
Разделим обе части уравнения на 13.
\(\displaystyle \frac{5}{13} sin x +\frac{12}{13}cos x=1\)
Заметим, что \(13 = \sqrt{5^2+12^2}.\)
Рассмотрим угол \(\varphi,\) такой, что
\(\displaystyle cos \varphi = \frac{12}{13}, \, \, sin \varphi = \frac{5}{13}, \, \, \varphi \in [0; \frac{\pi}{2}].\)
\(\displaystyle cos^ \varphi + sin^ \varphi = \frac{144}{169} + \frac{25}{169} =1.\)
\(\displaystyle \varphi = arcsin \frac{5}{13}\)
Уравнение примет вид:
\(cos \varphi cos x + sin \varphi sin x =1\)
\(cos (\varphi -x )=1\)
\(x - \varphi = 2 \pi n, \, \, n \in Z\)
\(x = \varphi +2 \pi n,\)
\(\displaystyle x = arcsin \frac{5}{13} + 2\pi n, \, \, n \in Z.\)
б) Найдём корни уравнения на отрезке \(\displaystyle [\frac{3\pi}{2}; 3\pi]\) с помощью тригонометрического круга.
Отметим на тригонометрическом круге отрезок \(\displaystyle [\frac{3\pi}{2}; 3\pi]\) и найденную серию решений. Видим, что указанному отрезку принадлежит \(\displaystyle x = arcsin \frac{5}{13}+2 \pi n\)
Ответ
а) \(\displaystyle arcsin \frac{5}{13}+2 \pi n, \, n \in Z\)
б) \(\displaystyle arcsin \frac{5}{13}+ 2\pi\)
