Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 5. Задание 14. Решение

Условие задачи

Дмитрий Мухин В правильной треугольной пирамиде ABCD (D - вершина) проведена плоскость $\alpha,$ проходящая через вершину С и параллельная ребру AB. Оказалось, что $\alpha$ делит пирамиду на два многогранника равного объема.
а) докажите, что $\alpha$ делит ребро DA в отношении $\sqrt{2}+1$ к 1, считая от вершины D.
б) найдите объем пирамиды ABCD, если известно, что плоскости α и ABD перпендикулярны, и AB=2.

Решение

а) $\alpha \parallel AB \Rightarrow \alpha \parallel (DAB)$ по признаку параллельности прямой и плоскости, $\alpha \cap (DAB) = MN$

$MN \parallel AB$ по теореме о прямой и параллельной ей плоскости.

По условию, $\displaystyle V_{MNDC} = \frac{1}{2} V_{ABCD};$ тогда

$\displaystyle S_{\triangle MND} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABD}$

(так как пирамиды MNDC и ABCD имеют общую высоту)

$\displaystyle \triangle DMN \sim \triangle DAB, \, \, \, k = \frac{1}{\sqrt2}; \, \, \, \, \frac{DM}{AD} = \frac{\sqrt2}{2} = \frac{1}{\sqrt2},$

$\displaystyle DM = \frac{1}{\sqrt2}AD,$ тогда $\displaystyle AM = (1- \frac{1}{\sqrt2})AD= \frac{\sqrt2 -1}{\sqrt2}(AD)$

$\displaystyle \frac{DM}{AM} = \frac{1}{\sqrt2 -1} = \frac{\sqrt2 +1}{1}.$ чтд

б) $\alpha \perp (ABD); \, \, AB = 2; \, \, (ABD) \cap \alpha = MN;$

$\angle CKD = 90^\circ.$

$DK \perp (CMN); \, \, KD = x, \, \, KH = (\sqrt2 -1)x,$

$AD = \sqrt{2x^2+1}; \, \, CK^2=CD^2-DK^2=CH^2-HK^2;$

CK - высота $\triangle CDH; \, \, \, 2x^2+1-x^2=3-(\sqrt2 -1)^2 x^2,$

$\displaystyle x^2(4-2\sqrt2)=2; \, \, x = \sqrt{\frac{2+\sqrt2}{2}}; \, \, V_{ABCD} = \frac{1}{3}CK \cdot S_{\triangle ABD} = \frac{(4+\sqrt2)\sqrt{2+\sqrt2}}{6}.$

Ответ

$\displaystyle \frac{(4+\sqrt2)\sqrt{2+\sqrt2}}{6}.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 5. Задание 14. Решение» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 19.09.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 5. Задание 14. Решение

Это полезно