Условие задачи
Дмитрий Мухин В правильной треугольной пирамиде ABCD (D - вершина) проведена плоскость \(\alpha,\) проходящая через вершину С и параллельная ребру AB. Оказалось, что \(\alpha\) делит пирамиду на два многогранника равного объема.
а) докажите, что \(\alpha\) делит ребро DA в отношении \(\sqrt{2}+1\) к 1, считая от вершины D.
б) найдите объем пирамиды ABCD, если известно, что плоскости α и ABD перпендикулярны, и AB=2.
Решение
а) \(\alpha \parallel AB \Rightarrow \alpha \parallel (DAB)\) по признаку параллельности прямой и плоскости, \(\alpha \cap (DAB) = MN\)
\(MN \parallel AB\) по теореме о прямой и параллельной ей плоскости.
По условию, \(\displaystyle V_{MNDC} = \frac{1}{2} V_{ABCD};\) тогда
\(\displaystyle S_{\triangle MND} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABD}\)
(так как пирамиды MNDC и ABCD имеют общую высоту)
\(\displaystyle \triangle DMN \sim \triangle DAB, \, \, \, k = \frac{1}{\sqrt2}; \, \, \, \, \frac{DM}{AD} = \frac{\sqrt2}{2} = \frac{1}{\sqrt2},\)
\(\displaystyle DM = \frac{1}{\sqrt2}AD,\) тогда \(\displaystyle AM = (1- \frac{1}{\sqrt2})AD= \frac{\sqrt2 -1}{\sqrt2}(AD)\)
\(\displaystyle \frac{DM}{AM} = \frac{1}{\sqrt2 -1} = \frac{\sqrt2 +1}{1}.\) чтд
б) \(\alpha \perp (ABD); \, \, AB = 2; \, \, (ABD) \cap \alpha = MN;\)
\(\angle CKD = 90^\circ.\)
\(DK \perp (CMN); \, \, KD = x, \, \, KH = (\sqrt2 -1)x,\)
\(AD = \sqrt{2x^2+1}; \, \, CK^2=CD^2-DK^2=CH^2-HK^2;\)
CK - высота \(\triangle CDH; \, \, \, 2x^2+1-x^2=3-(\sqrt2 -1)^2 x^2,\)
\(\displaystyle x^2(4-2\sqrt2)=2; \, \, x = \sqrt{\frac{2+\sqrt2}{2}}; \, \, V_{ABCD} = \frac{1}{3}CK \cdot S_{\triangle ABD} = \frac{(4+\sqrt2)\sqrt{2+\sqrt2}}{6}.\)
Ответ
\(\displaystyle \frac{(4+\sqrt2)\sqrt{2+\sqrt2}}{6}.\)