Условие задачи
Дмитрий Мухин Дана трапеция ABCD. Точка M лежит на боковой стороне AB, а точка N лежит на стороне CD так, что \(MN \parallel AD.\) Отрезок MN пересекается с диагональю AC в точке O, причем площади треугольников AMO и CON равны.
а) Докажите, что \(\angle BCM=\angle MNA.\)
б) Найдите MN, если BC=4, AD=9.
Решение
а) Докажем, что \(\angle BCM=\angle MNA.\)
\(S_{\triangle AMO} = S_{\triangle CON}\)
\(\angle AOM = \angle CON\) (вертикальные), тогда
\(\displaystyle \frac{1}{2}AO \cdot OM \cdot sin \angle AOM = \frac{1}{2}CO \cdot ON \cdot sin \angle CON,\)
\(AO \cdot OM = CO \cdot ON,\)
\(\displaystyle \frac{OC}{OA} = \frac{OM}{ON}.\)
Тогда \(\triangle COM \sim \triangle AON\) по углу и двум сторонам, тогда\( \angle CMO = \angle ONA\) (накрестлежащие) \(MC \parallel AN, \, \angle BCM = \angle MNA.\)
б) Найдём MN, если BC = 4, AD = 9.
\(\triangle MBC \sim \triangle AMN\) по 2 углам,
\(\displaystyle \frac{BC}{MN} = \frac{MC}{AN};\)
\(\displaystyle \triangle CMN \sim \triangle NAD, \, \, \frac{MC}{AN} = \frac{MN}{AD}.\)
Мы получили: \(\displaystyle \frac{BC}{MN} = \frac{MN}{AD}\)
\(MN^2 = BC \cdot AD, MN = \sqrt{4 \cdot 9} = 6.\)
Ответ
6
