previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 5. Задание 16. Решение

 

Условие задачи

Дмитрий Мухин Дана трапеция ABCD. Точка M лежит на боковой стороне AB, а точка N лежит на стороне CD так, что MN \parallel AD. Отрезок MN пересекается с диагональю AC в точке O, причем площади треугольников AMO и CON равны.

а) Докажите, что \angle BCM=\angle MNA.

б) Найдите MN, если BC=4, AD=9.

 

Решение

а) Докажем, что \angle BCM=\angle MNA.

S_{\triangle AMO} = S_{\triangle CON}

\angle AOM = \angle CON (вертикальные), тогда

\displaystyle \frac{1}{2}AO \cdot OM \cdot sin \angle AOM = \frac{1}{2}CO \cdot ON \cdot sin \angle CON,

AO \cdot OM = CO \cdot ON,

\displaystyle \frac{OC}{OA} = \frac{OM}{ON}.

Тогда \triangle COM \sim \triangle AON по углу и двум сторонам, тогда\angle CMO = \angle ONA (накрестлежащие) MC \parallel AN, \, \angle BCM = \angle MNA.

б) Найдём MN, если BC = 4, AD = 9.

\triangle MBC \sim \triangle AMN по 2 углам,

\displaystyle \frac{BC}{MN} = \frac{MC}{AN};

\displaystyle \triangle CMN \sim \triangle NAD, \, \, \frac{MC}{AN} = \frac{MN}{AD}.

Мы получили: \displaystyle \frac{BC}{MN} = \frac{MN}{AD}

MN^2 = BC \cdot AD, MN = \sqrt{4 \cdot 9} = 6.

 

Ответ

6