Условие задачи
Больше 100 лет назад по Волге ходили пароходы. Количество расхода угля пароходом пропорционально кубу его скорости. Известно, что при скорости 15 км/ч было потрачено 1,5 тонны угля в час по цене 18 рублей за тонну. Другие расходы на обслуживание парохода составляли 16 рублей в час. Найдите наименьшую стоимость прохождения пароходом пути в 1500 км. Ответ выразите в рублях.
Решение
Очевидно, стоимость всего пути минимальна при наименьшей стоимости километра пути.
Час пути обходился в \(16+18kV^3\) рублей, километр пути обходился в \(\displaystyle \frac{16+18kV^3}{V} = \frac{16}{V}+18kV^2,\) где V – скорость парохода, k – коэффициент пропорциональности между кубом скорости и затратами угля.
Т.к. при V=15 км/ч расход угля равен 1,5 т/час, получаем \(\displaystyle 15^3k = 1,5; \, \, \, k = \frac{1}{2250}, \)тогда затраты на 1 км пути Z:
\(\displaystyle Z = \frac{16}{V} + \frac{18V^2}{2250} = \frac{16}{V} + \frac{V^2}{125}\)
Найдем минимум функции \(Z(V):\)
\(\displaystyle Z' = - \frac{16}{V_2} + \frac{2V}{125} = 0; \, \frac{16}{V^2} = \frac{2V}{125}; \, \, 2V^3 = 2000, \, \, V = 10\) км/ч
Наименьшая стоимость Z одного км пути составит 2,4 рубля, а стоимость всего пути – 3600 рублей.
Ответ
3600
