Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 5. Задание 18. Решение

Условие задачи

Найдите все положительные значения параметра а, при которых все различные неотрицательные х, являющиеся решениями уравнения

$cos ((8a-3)x) = cos((14a+5)x)$

и расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.

Решение

Преобразуем левую часть уравнения

$cos((8a-3)x)-cos((14a+5)x)=0$

по формуле разности косинусов

$\displaystyle sin(\frac{22a+2}{2} \cdot x) \cdot sin(\frac{6a+8}{2}\cdot x) = 0$

$\left[ \begin{gathered} sin((11a+1)\cdot x)=0 \\ sin((3a+4)\cdot x)=0 \\ \end{gathered} \right.$

$\left[ \begin{gathered} x(11a+1) = \pi n, \, n \in Z \\ x(3a+4)= \pi k, \, k \in Z \\ \end{gathered} \right.$

$\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi n}{11a+1} \\ x=\frac{\pi k}{3a+4} \\ \end{gathered} \right. ,\, n,k \in Z$

Мы получили две серии решений вида

$\left[ \begin{gathered} x=bn \\ x=ck \\ \end{gathered} \right. ,\, n,k \in Z$

Корни уравнения, расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию в следующих случаях:

1) Корни совпадают, $b=c,$

$\displaystyle \frac{\pi}{11a+1} = \frac{\pi}{3a+4},$

$11a+1 = 3a+4,$

$\displaystyle a= \frac{3}{8}.$

Другие случаи:

2) $c = b \cdot p,$ где $p \in n$

Это значит, что среди корней уравнения вида x=bn находятся корни уравнения вида $x = c \cdot k.$

3) Аналогично, $b = c \cdot q,$ где $q \in N$

Рассмотрим эти случаи по отдельности.

2 случай. $c = b \cdot p$

$\displaystyle \frac{\pi}{3a+4} = \frac{\pi}{11a+1} \cdot p$

$\displaystyle \frac{1}{3a+4} = \frac{p}{11a+1}, \, \, \, a = \frac{4a-1}{11-3p}$

По условию, $p \, \textgreater 0 \, .$ Решая неравенство

$\displaystyle \frac{4p-1}{11-3p} \, \textgreater \, 0,$ получим: $p \in (\frac{1}{4}; \, \frac{11}{3})$

Если $\displaystyle p = 1, a = \frac{3}{8}$ (это 1 случай, уже рассмотрен)

Если $\displaystyle p = 2, a = \frac{7}{5}$

Если $\displaystyle p =3, \, a = \frac{11}{2}$

Рассмотрим также третий случай

$b = c \cdot q,$

$\displaystyle \frac{1}{11a+1} = \frac{q}{3a+4},$

$\displaystyle a= \frac{q-4}{3-11q} \, \textgreater \, 0,$ значит, $\displaystyle q \in (\frac{3}{11}; \, 4).$

Так как $q \in N, \, q=2$ или $q=3.$

Если $\displaystyle q = 2, \, a = \frac{2}{13}$

Если $\displaystyle q = 3, \, a = \frac{1}{30}$

Ответ

$\displaystyle \frac{1}{30}, \, \frac{2}{19}, \, \frac{3}{8}, \, \frac{7}{5}, \, \frac{11}{2}$

Это полезно