Условие задачи
Найдите все положительные значения параметра а, при которых все различные неотрицательные х, являющиеся решениями уравнения
\(cos ((8a-3)x) = cos((14a+5)x)\)
и расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.
Решение
Преобразуем левую часть уравнения
\(cos((8a-3)x)-cos((14a+5)x)=0\)
по формуле разности косинусов
\(\displaystyle sin(\frac{22a+2}{2} \cdot x) \cdot sin(\frac{6a+8}{2}\cdot x) = 0\)
\(\left[ \begin{gathered} sin((11a+1)\cdot x)=0 \\ sin((3a+4)\cdot x)=0 \\ \end{gathered} \right.\)
\(\left[ \begin{gathered} x(11a+1) = \pi n, \, n \in Z \\ x(3a+4)= \pi k, \, k \in Z \\ \end{gathered} \right.\)
\(\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi n}{11a+1} \\ x=\frac{\pi k}{3a+4} \\ \end{gathered} \right. ,\, n,k \in Z\)
Мы получили две серии решений вида
\(\left[ \begin{gathered} x=bn \\ x=ck \\ \end{gathered} \right. ,\, n,k \in Z\)
Корни уравнения, расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию в следующих случаях:
1) Корни совпадают, \(b=c,\)
\(\displaystyle \frac{\pi}{11a+1} = \frac{\pi}{3a+4},\)
\(11a+1 = 3a+4,\)
\(\displaystyle a= \frac{3}{8}.\)
Другие случаи:
2) \(c = b \cdot p,\) где \(p \in n\)
Это значит, что среди корней уравнения вида x=bn находятся корни уравнения вида \(x = c \cdot k. \)
3) Аналогично, \(b = c \cdot q,\) где \(q \in N\)
Рассмотрим эти случаи по отдельности.
2 случай. \(c = b \cdot p\)
\(\displaystyle \frac{\pi}{3a+4} = \frac{\pi}{11a+1} \cdot p\)
\(\displaystyle \frac{1}{3a+4} = \frac{p}{11a+1}, \, \, \, a = \frac{4a-1}{11-3p}\)
По условию, \(p \, \textgreater 0 \, .\) Решая неравенство
\(\displaystyle \frac{4p-1}{11-3p} \, \textgreater \, 0,\) получим: \(p \in (\frac{1}{4}; \, \frac{11}{3})\)
Если \(\displaystyle p = 1, a = \frac{3}{8}\) (это 1 случай, уже рассмотрен)
Если \(\displaystyle p = 2, a = \frac{7}{5}\)
Если \(\displaystyle p =3, \, a = \frac{11}{2}\)
Рассмотрим также третий случай
\(b = c \cdot q,\)
\(\displaystyle \frac{1}{11a+1} = \frac{q}{3a+4},\)
\(\displaystyle a= \frac{q-4}{3-11q} \, \textgreater \, 0, \) значит, \(\displaystyle q \in (\frac{3}{11}; \, 4).\)
Так как \(q \in N, \, q=2\) или \(q=3.\)
Если \(\displaystyle q = 2, \, a = \frac{2}{13}\)
Если \(\displaystyle q = 3, \, a = \frac{1}{30}\)
Ответ
\(\displaystyle \frac{1}{30}, \, \frac{2}{19}, \, \frac{3}{8}, \, \frac{7}{5}, \, \frac{11}{2}\)
