Условие задачи
Найдите все положительные значения параметра а, при которых все различные неотрицательные х, являющиеся решениями уравнения
и расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.
Решение
Преобразуем левую часть уравнения
по формуле разности косинусов
Мы получили две серии решений вида
Корни уравнения, расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию в следующих случаях:
1) Корни совпадают,
Другие случаи:
2) где
Это значит, что среди корней уравнения вида x=bn находятся корни уравнения вида
3) Аналогично, где
Рассмотрим эти случаи по отдельности.
2 случай.
По условию, Решая неравенство
получим:
Если (это 1 случай, уже рассмотрен)
Если
Если
Рассмотрим также третий случай
значит,
Так как или
Если
Если
Ответ