previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 5. Задание 18. Решение

 

Условие задачи

Найдите все положительные значения параметра а, при которых все различные неотрицательные х, являющиеся решениями уравнения

cos ((8a-3)x) = cos((14a+5)x)

и расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.

 

Решение

Преобразуем левую часть уравнения

cos((8a-3)x)-cos((14a+5)x)=0

по формуле разности косинусов

\displaystyle sin(\frac{22a+2}{2} \cdot x) \cdot sin(\frac{6a+8}{2}\cdot x) = 0

\left[ \begin{gathered} sin((11a+1)\cdot x)=0 \\ sin((3a+4)\cdot x)=0 \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x(11a+1) = \pi n, \, n \in Z \\ x(3a+4)= \pi k, \, k \in Z \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi n}{11a+1} \\ x=\frac{\pi k}{3a+4} \\ \end{gathered} \right. ,\, n,k \in Z

Мы получили две серии решений вида

\left[ \begin{gathered} x=bn \\ x=ck \\ \end{gathered} \right. ,\, n,k \in Z

Корни уравнения, расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию в следующих случаях:

1) Корни совпадают, b=c,

\displaystyle \frac{\pi}{11a+1} = \frac{\pi}{3a+4},

11a+1 = 3a+4,

\displaystyle a= \frac{3}{8}.

Другие случаи:

2) c = b \cdot p, где p \in n

Это значит, что среди корней уравнения вида x=bn находятся корни уравнения вида x = c \cdot k.

3) Аналогично, b = c \cdot q, где q \in N

Рассмотрим эти случаи по отдельности.

2 случай. c = b \cdot p

\displaystyle \frac{\pi}{3a+4} = \frac{\pi}{11a+1} \cdot p

\displaystyle \frac{1}{3a+4} = \frac{p}{11a+1}, \, \, \, a = \frac{4a-1}{11-3p}

По условию, p \, \textgreater 0 \, . Решая неравенство

\displaystyle \frac{4p-1}{11-3p} \, \textgreater \, 0, получим: p \in (\frac{1}{4}; \, \frac{11}{3})

Если \displaystyle p = 1, a = \frac{3}{8} (это 1 случай, уже рассмотрен)

Если \displaystyle p = 2, a = \frac{7}{5}

Если \displaystyle p =3, \, a = \frac{11}{2}

Рассмотрим также третий случай

b = c \cdot q,

\displaystyle \frac{1}{11a+1} = \frac{q}{3a+4},

\displaystyle a= \frac{q-4}{3-11q} \, \textgreater \, 0, значит, \displaystyle q \in (\frac{3}{11}; \, 4).

Так как q \in N, \, q=2 или q=3.

Если \displaystyle q = 2, \, a = \frac{2}{13}

Если \displaystyle q = 3, \, a = \frac{1}{30}

 

Ответ

\displaystyle \frac{1}{30}, \, \frac{2}{19}, \, \frac{3}{8}, \, \frac{7}{5}, \, \frac{11}{2}