previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 5. Задание 19. Решение

Условие задачи

а) Существует ли натуральное число, которое в 24 раза больше суммы своих цифр?

б) Существует ли пятизначное натуральное число, которое в 221 раз больше суммы своих цифр?

в) Найдите наименьшее число, которое в 15873 раз больше суммы своих цифр.

Решение

а) Пусть a_1, \, a_2 \, \dots \, a_n — цифры числа A. Предположим, что

A = 24(a_1 + a_2 + \dots + a_n) = 24S,

где S — сумма цифр числа A.

Если A = 24S, то A = 3 \cdot 8S, \, A \vdots 3

Так как A делится на 3, сумма цифр числа A делится на 3, т.е. S \vdots 3

Значит, A \vdots 3S, то есть A \vdots 9.

Тогда S \vdots 9 и A \vdots 27.

A = 8 \cdot 27 \cdot k = 216 k.

Если k = 1, \, A = 216

\displaystyle \frac{216}{2+1+6} = 24, подходит.

а) Ответ: да, пример: 216

б) Предположим, что A=\overline{abcde}

\displaystyle \frac{A}{a+b+c+d+e} = \frac{A}{S} = 221;

Так как A — пятизначное, A \geq 10000; \, \, S \leq 45 (каждая цифра не больше 9)

\displaystyle \frac{A}{S} \geq \frac{10000}{S} \geq \frac{10000}{45};

\displaystyle \frac{A}{S} \geq \frac{2000}{9}; \, \, \, \displaystyle \frac{A}{S} \geq 222 \frac{2}{9} \, \textgreater \, 221;

значит, A = 221S — противоречие.

в) Пусть \displaystyle \frac{A}{S} = 15873.

В пункте (а) мы выяснили, что A делится на 27.

15873 = 3 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37

A \vdots 27 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37, значит, A делится на произведение этих чисел

A \vdots 142857

Запишем это в виде A = 142 857k

Найдём наименьшее возможное k.

k=1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \frac{142857}{1+4+2+8+5+7} = \frac{142857}{27} = 11 \cdot 13 \cdot 37 \ne 15873

k = 2 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 142857 \cdot 2 — чётное, A = 285714

8 = 27 — нечётное,

15873 — нечётное, не подходит

k = 3; A = 428571 = 15873 \cdot 27;

Подходит, S = 4+2+8+5+7+1 = 27

Ответ

а) да, пример: 216.
б) нет
в) 428571