Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 5. Задание 19. Решение

Условие задачи

а) Существует ли натуральное число, которое в 24 раза больше суммы своих цифр?

б) Существует ли пятизначное натуральное число, которое в 221 раз больше суммы своих цифр?

в) Найдите наименьшее число, которое в 15873 раз больше суммы своих цифр.

Решение

а) Пусть $a_1, \, a_2 \, \dots \, a_n$ — цифры числа A. Предположим, что

$A = 24(a_1 + a_2 + \dots + a_n) = 24S,$

где S — сумма цифр числа A.

Если $A = 24S,$ то $A = 3 \cdot 8S, \, A \vdots 3$

Так как A делится на 3, сумма цифр числа A делится на 3, т.е. $S \vdots 3$

Значит, $A \vdots 3S,$ то есть $A \vdots 9.$

Тогда $S \vdots 9$ и $A \vdots 27.$

$A = 8 \cdot 27 \cdot k = 216 k.$

Если $k = 1, \, A = 216$

$\displaystyle \frac{216}{2+1+6} = 24,$ подходит.

а) Ответ: да, пример: 216

б) Предположим, что $A=\overline{abcde}$

$\displaystyle \frac{A}{a+b+c+d+e} = \frac{A}{S} = 221;$

Так как A — пятизначное, $A \geq 10000; \, \, S \leq 45$ (каждая цифра не больше 9)

$\displaystyle \frac{A}{S} \geq \frac{10000}{S} \geq \frac{10000}{45};$

$\displaystyle \frac{A}{S} \geq \frac{2000}{9}; \, \, \, \displaystyle \frac{A}{S} \geq 222 \frac{2}{9} \, \textgreater \, 221;$

значит, $A = 221S$ — противоречие.

в) Пусть $\displaystyle \frac{A}{S} = 15873.$

В пункте (а) мы выяснили, что A делится на 27.

$15873 = 3 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37$

$A \vdots 27 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37,$ значит, A делится на произведение этих чисел

$A \vdots 142857$

Запишем это в виде $A = 142 857k$

Найдём наименьшее возможное k.

$k=1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \frac{142857}{1+4+2+8+5+7} = \frac{142857}{27} = 11 \cdot 13 \cdot 37 \ne 15873$

$k = 2 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 142857 \cdot 2$ — чётное, $A = 285714$

8 = 27 — нечётное,

15873 — нечётное, не подходит

$k = 3; A = 428571 = 15873 \cdot 27;$

Подходит, $S = 4+2+8+5+7+1 = 27$

Ответ

а) да, пример: 216.
б) нет
в) 428571

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 5. Задание 19. Решение» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 10.03.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 5. Задание 19. Решение

Это полезно