Условие задачи
а) Существует ли натуральное число, которое в 24 раза больше суммы своих цифр?
б) Существует ли пятизначное натуральное число, которое в 221 раз больше суммы своих цифр?
в) Найдите наименьшее число, которое в 15873 раз больше суммы своих цифр.
Решение
а) Пусть \(a_1, \, a_2 \, \dots \, a_n\) — цифры числа A. Предположим, что
\(A = 24(a_1 + a_2 + \dots + a_n) = 24S,\)
где S — сумма цифр числа A.
Если \(A = 24S,\) то \(A = 3 \cdot 8S, \, A \vdots 3\)
Так как A делится на 3, сумма цифр числа A делится на 3, т.е. \(S \vdots 3\)
Значит, \(A \vdots 3S,\) то есть \(A \vdots 9.\)
Тогда \(S \vdots 9\) и \(A \vdots 27.\)
\(A = 8 \cdot 27 \cdot k = 216 k.\)
Если \(k = 1, \, A = 216\)
\(\displaystyle \frac{216}{2+1+6} = 24,\) подходит.
а) Ответ: да, пример: 216
б) Предположим, что \(A=\overline{abcde}\)
\(\displaystyle \frac{A}{a+b+c+d+e} = \frac{A}{S} = 221;\)
Так как A — пятизначное, \(A \geq 10000; \, \, S \leq 45 \) (каждая цифра не больше 9)
\(\displaystyle \frac{A}{S} \geq \frac{10000}{S} \geq \frac{10000}{45};\)
\(\displaystyle \frac{A}{S} \geq \frac{2000}{9}; \, \, \, \displaystyle \frac{A}{S} \geq 222 \frac{2}{9} \, \textgreater \, 221;\)
значит, \( A = 221S\) — противоречие.
в) Пусть \(\displaystyle \frac{A}{S} = 15873.\)
В пункте (а) мы выяснили, что A делится на 27.
\(15873 = 3 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37\)
\(A \vdots 27 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37,\) значит, A делится на произведение этих чисел
\(A \vdots 142857\)
Запишем это в виде \(A = 142 857k\)
Найдём наименьшее возможное k.
\( k=1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \frac{142857}{1+4+2+8+5+7} = \frac{142857}{27} = 11 \cdot 13 \cdot 37 \ne 15873\)
\(k = 2 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 142857 \cdot 2\) — чётное, \(A = 285714\)
8 = 27 — нечётное,
15873 — нечётное, не подходит
\(k = 3; A = 428571 = 15873 \cdot 27;\)
Подходит, \(S = 4+2+8+5+7+1 = 27\)
Ответ
а) да, пример: 216.
б) нет
в) 428571
