Условие задачи
Расстояние между городами A и B равно 403 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоцикл, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда мотоцикл вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.
Решение
Пусть расстояние от A до C равно X. Рассмотрим момент встречи автомобиля и мотоцикла в городе C. Пусть y — скорость автомобиля. Составим таблицу
| v | t | S | |
| автомобиль | y | \(\displaystyle \frac{x}{y}\) | x |
| мотоцикл | 90 | \(\displaystyle \frac{x}{90}\) | x |
Получим:
\(\displaystyle \frac{x}{y} - \frac{x}{90} = 1,\) так как мотоцикл выехал на 1 час позже.
Запишем также, что когда мотоцикл вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Автомобиль проехал от города C до города B расстояние 403 — x, а мотоцикл проехал расстояние x до города A.
| v | t | s | |
| автомобиль | y | \(\displaystyle \frac{403-x}{y}\) | 403-x |
| мотоцикл | 10 | \(\displaystyle \frac{x}{90}\) | x |
Получим систему уравнений
\(\displaystyle \left\{\begin{gathered} x(\frac{1}{y}-\frac{1}{90})=1\\ \frac{x}{90} = \frac{403-x}{y} \end{gathered}\right.\)
\(\left\{\begin{gathered} x(\frac{1}{y}-\frac{1}{90})=1\\ y = \frac{90(403-x)}{x} \end{gathered}\right.\)
Подставим y в первое уравнение
\(\displaystyle \frac {x}{403-x} -1 = \frac{90}{x}\)
\(x^2 - 90(403-x)=x(403-x)\)
\(2x^2 - 313 x -90 \cdot 403 =9 \)
\(D = 313^2 + 4\cdot 90 \cdot 403 = 388129\)
\(\sqrt {D} = 623\) (смотрите видео — как без калькулятора вычислить корень из шестизначного числа)
\(\displaystyle x = \frac{313 \pm 623}{4}; \, \, x \, \textgreater \, 0\)
\(\displaystyle x = \frac{936}{4} = 234\)
Ответ
234
