Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 6. Задание 13. Решение

Условие задачи

Анна Малкова
а)Решите уравнение $sin6x \cdot (cosx-sinx) = \sqrt 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\pi ; -2\pi ]$

Решение

а) В произведении $\sin \alpha \cdot \cos \beta$ каждый из множителей по модулю не больше 1: $\left | \sin \alpha \right |\leq 1,\: \: \left | \cos \beta \right | \leq 1$

Предположим, что $\displaystyle \left | \sin \alpha \right |\textless 1$ . Тогда $\displaystyle \cos \beta =\frac{1}{ \sin \alpha } ;$ $\displaystyle \left |\cos \beta \right | =\frac{1}{ \left |\sin \alpha \right | } \textgreater 1.$ и это невозможно.

Получим:

$\displaystyle \left[\begin{gathered}\left\{\begin{matrix}\sin 6x =1\\\cos \left ( x+\frac{\pi}{4}\right ) =1\end{matrix} \: \: \: \: \: \:(1)\right. \\\left\{\begin{matrix}\sin 6x = -1\\\cos \left ( x+ \frac{\pi}{4}\right )=-1\end{matrix}\: \: \: (2)\right. \\\end{gathered}\right.$

Решим отдельно первую систему:

$\displaystyle \left\{\begin{matrix}6x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \: \: \: n\in Z\\x+\frac{\pi}{4}=2 \pi k, \: \: k\in Z\end{matrix}\right.$

$\displaystyle \left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{12}+ \frac{\pi n}{3}, \: \: \: n, k\in Z\\x=-\frac{\pi}{4}+2 \pi k\end{matrix}\right.$

Приравниваем найденные выражения для $x$ :

$\displaystyle \frac{\pi}{12}+ \frac{\pi n}{3}=-\frac{\pi}{4}+2 \pi k$

$\displaystyle \frac{1}{12}+ \frac{n}{3}=-\frac{1}{4}+2 k$

$1+n=6k$

$n=6k-1$

$n=-1, 5, 11...$

$\displaystyle x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k, \: \: k\in Z.$

Решим отдельно вторую систему:

$\displaystyle \left\{\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}, \: \: n, k \in Z\\x=-\frac{\pi}{4}+\pi+2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2 \pi k\end{matrix}\right.$