Условие задачи
Анна Малкова
а)Решите уравнение \(sin6x \cdot (cosx-sinx) = \sqrt 2 \)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-4\pi ; -2\pi ]\)
Решение
а) В произведении \( \sin \alpha \cdot \cos \beta \) каждый из множителей по модулю не больше 1: \( \left | \sin \alpha \right |\leq 1,\: \: \left | \cos \beta \right | \leq 1\)
Предположим, что \(\displaystyle \left | \sin \alpha \right |\textless 1\). Тогда \( \displaystyle \cos \beta =\frac{1}{ \sin \alpha } ;\) \(\displaystyle \left |\cos \beta \right | =\frac{1}{ \left |\sin \alpha \right | } \textgreater 1.\) и это невозможно.
Аналогично, невозможен случай \( \left |\cos \beta \right | \textless 1\). Значит, \( \left |\sin \alpha \right | = 1\) и \( \left |\cos \beta \right | = 1\).
Получим:
\(\displaystyle \left[
\begin{gathered}
\left\{\begin{matrix}
\sin 6x =1\\
\cos \left ( x+\frac{\pi}{4}\right ) =1
\end{matrix} \: \: \: \: \: \:(1)\right. \\
\left\{\begin{matrix}
\sin 6x = -1\\
\cos \left ( x+ \frac{\pi}{4}\right )=-1
\end{matrix}\: \: \: (2)\right. \\
\end{gathered}
\right.\)
Решим отдельно первую систему:
\( \displaystyle \left\{\begin{matrix}
6x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \: \: \: n\in Z\\
x+\frac{\pi}{4}=2 \pi k, \: \: k\in Z
\end{matrix}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x=\frac{\pi}{12}+ \frac{\pi n}{3}, \: \: \: n, k\in Z\\
x=-\frac{\pi}{4}+2 \pi k
\end{matrix}\right.\)
Приравниваем найденные выражения для \(x\):
\( \displaystyle \frac{\pi}{12}+ \frac{\pi n}{3}=-\frac{\pi}{4}+2 \pi k\)
\( \displaystyle \frac{1}{12}+ \frac{n}{3}=-\frac{1}{4}+2 k \)
\(1+n=6k\)
\(n=6k-1 \)
\(n=-1, 5, 11... \)
\( \displaystyle x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k, \: \: k\in Z. \)
Решим отдельно вторую систему:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}, \: \: n, k \in Z\\
x=-\frac{\pi}{4}+\pi+2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2 \pi k
\end{matrix}\right.\)
\(\displaystyle -\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}=-\frac{3 \pi}{4}+ 2 \pi k\)
\(\displaystyle -\frac{1}{12}+\frac{n}{3}=\frac{3}{4}+2k,\: \: n,k\in Z\)
\( 4n=10+24k\)
\( 2n=5+12k\)
Это уравнение не имеет целых решений.
Ответ в пункте (а): \(\displaystyle x=-\frac{ \pi}{4}+2 \pi k,\: \: k\in Z \)
б) Найдем корни на отрезке \( [-4 \pi ; -2 \pi]\) с помощью двойного неравенства.
\(\displaystyle -4 \pi \leq -\frac{\pi}{4}+2 \pi k \leq -2 \pi\)
\(\displaystyle -4 \leq -\frac{1}{4}+2 k \leq -2\)
\(\displaystyle -\frac{15}{4}\leq 2k \leq -\frac{7}{4}\)
\(\displaystyle -\frac{15}{8}\leq k \leq -\frac{7}{8}\)
\(k=-1 \)
\(\displaystyle x=-\frac{\pi}{4}-2 \pi=-\frac{9 \pi}{4}\)
Ответ в (б): \(\displaystyle -\frac{9 \pi}{4}\)
Ответ
а) \(\displaystyle x=-\frac{ \pi}{4}+2 \pi k,\: \: k\in Z \)
б) \(\displaystyle -\frac{9 \pi}{4}\)
