previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 6. Задание 13. Решение

 

Условие задачи

Анна Малкова
а)Решите уравнение sin6x \cdot (cosx-sinx) = \sqrt 2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4\pi ; -2\pi ]

Решение

а) В произведении \sin \alpha \cdot \cos \beta каждый из множителей по модулю не больше 1: \left | \sin \alpha \right |\leq 1,\: \: \left | \cos \beta \right | \leq 1

Предположим, что \displaystyle \left | \sin \alpha \right |\textless 1. Тогда \displaystyle \cos \beta  =\frac{1}{ \sin \alpha } ; \displaystyle  \left |\cos \beta  \right |  =\frac{1}{ \left |\sin \alpha  \right | } \textgreater 1. и это невозможно.

Аналогично, невозможен случай \left |\cos \beta  \right | \textless 1. Значит, \left |\sin \alpha  \right | = 1 и \left |\cos \beta  \right | = 1.

 

Получим:

\displaystyle \left[\begin{gathered}\left\{\begin{matrix}\sin 6x =1\\\cos \left ( x+\frac{\pi}{4}\right ) =1\end{matrix} \: \: \: \: \: \:(1)\right. \\\left\{\begin{matrix}\sin 6x = -1\\\cos \left ( x+ \frac{\pi}{4}\right )=-1\end{matrix}\: \: \: (2)\right. \\\end{gathered}\right.

 

Решим отдельно первую систему:

\displaystyle \left\{\begin{matrix}6x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \: \: \: n\in Z\\x+\frac{\pi}{4}=2 \pi k, \: \: k\in Z\end{matrix}\right.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{12}+ \frac{\pi n}{3}, \: \: \: n, k\in Z\\x=-\frac{\pi}{4}+2 \pi k\end{matrix}\right.

Приравниваем найденные выражения для x:

\displaystyle \frac{\pi}{12}+ \frac{\pi n}{3}=-\frac{\pi}{4}+2 \pi k

\displaystyle \frac{1}{12}+ \frac{n}{3}=-\frac{1}{4}+2  k

1+n=6k

n=6k-1

n=-1, 5, 11...

\displaystyle x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k, \: \: k\in Z.

 

Решим отдельно вторую систему:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}, \: \: n, k \in Z\\x=-\frac{\pi}{4}+\pi+2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2 \pi k\end{matrix}\right.

 

\displaystyle -\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}=-\frac{3 \pi}{4}+ 2 \pi k

\displaystyle -\frac{1}{12}+\frac{n}{3}=\frac{3}{4}+2k,\: \: n,k\in Z

4n=10+24k

2n=5+12k

Это уравнение не имеет целых  решений.

Ответ в пункте (а): \displaystyle x=-\frac{ \pi}{4}+2 \pi k,\: \: k\in Z

б) Найдем корни на отрезке [-4 \pi ; -2 \pi] с помощью двойного неравенства.

\displaystyle -4 \pi \leq -\frac{\pi}{4}+2 \pi k \leq -2 \pi

\displaystyle -4 \leq -\frac{1}{4}+2 k \leq -2

 

\displaystyle -\frac{15}{4}\leq 2k \leq -\frac{7}{4}

 

\displaystyle -\frac{15}{8}\leq k \leq -\frac{7}{8}

k=-1

 

\displaystyle x=-\frac{\pi}{4}-2 \pi=-\frac{9 \pi}{4}

Ответ в (б): \displaystyle -\frac{9 \pi}{4}

Ответ

а) \displaystyle x=-\frac{ \pi}{4}+2 \pi k,\: \: k\in Z

б)  \displaystyle -\frac{9 \pi}{4}